Trapéz: definíció, terület, kerület, tulajdonságok, típusok

Trapéz deifníció | Trapéz tulajdonságai | Trapéz kerülete | Trapéz területe l Speciális trapézok | Feladatok

Trapéznak a négyszögek egy fajtáját nevezzük. Ha most ismerkedsz vele, vagy szeretnéd átismételni, felfrissíteni a régebben tanultakat, akkor hasznos lesz számodra ez az összefoglaló.

Mi a trapéz fogalma, definíciója?

Definíció:
A trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. (Azaz legalább két oldala párhuzamos egymással.) Ezeket az egymással párhuzamos oldalakat a trapéz alapjainak, a másik két oldalát a trapéz szárainak nevezzük.

Mik a trapéz tulajdonságai?

A trapézra nem sok speciális tulajdonság jellemző, hiszen a szárairól semmit nem írunk elő. Ez azt jelenti, hogy az általános trapéz oldalainak a hossza nem mutat semmilyen szabályosságot. Szögei között azért van egy fontos összefüggés: az egy száron fekvő szögek összege 180°.

Az általános trapéz nem tengelyesen szimmetrikus, és nem is középpontosan szimmetrikus.

Ennek a bástyának a falai trapéz alakúak

Ha már legalább 10. osztályos vagy, akkor érdemes a trapéz átlóiról egy érdekességet megjegyezned: A trapéz átlói az alapok arányában metszik egymást.

A különböző négyszögfajták (köztük a trapéz) tulajdonságait foglaljuk össze és gyakorolhatod a következő videón: Négyszögek tulajdonságai - 6. osztály

Hogyan számítható ki a trapéz kerülete?

A trapéz kerületének kiszámolásához nem kell mást tennünk, mint összeadni az oldalainak a hosszát (amelyek lehetnek mind különbözőek is): K = a + b + c + d

1. feladat: A trapézt körbejárjuk a legkisebb oldalától indulva, ami 10 cm-es. A következő oldalak mind 2 cm-rel hosszabbak az előzőnél. Mekkora  a trapéz kerülete?

Megoldás: Legegyszerűbb, ha egyenként kiszámoljuk az oldalakat: Tudjuk, hogy a₁=10 cm; ezután a₂ = 12cm; a₃ = 14 cm; a₄ = 16 cm.

 A trapéz kerülete: K = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 10 + 12 + 14 + 16 = 52 cm

Megjegyzés: azért nem a, b, c, d-vel jelöltük az oldalakat, mert a trapéznál hagyományosan az alapokat jelöljük a-val és c-vel, és ebben az esetben nem lehetünk biztosak benne, hogy melyek is az alapok.

Hogyan számítható a trapéz területe?

A trapéz területének kiszámolásához ismernünk kell a trapéz alapjait (ezek, mint korábban olvashattad, a trapéz párhuzamos oldalai), és a trapéz magasságát, ami merőleges az alapokra.

A trapéz terület-képlete a következő: T = (a + c) / 2 · m

A képletben szereplő tört az alapok átlaga. Ezt a képletet a trapéz átdarabolásával is megkaphatjuk:

A téglalap területét könnyen kiszámolhatjuk: csak össze kell szorozni a két oldalát. Most ez a két oldal: (a+c) / 2 és m, így ezek szorzata adja a téglalap területét, ami természetesen egyenlő a trapéz területével, amiből átdarabolással kaptuk.

Megjegyzés: az ábrán pirossal jelölt szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük, hossza mindig egyenlő az alapok átlagával.

Milyen speciális trapézok vannak?

Mi az a húrtrapéz? Mi az az egyenlő szárú trapéz? Mi jellemzi?

A legismertebb speciális trapéz az egyenlő szárú trapéz, másképpen húrtrapéz:

- szárai egyenlő hosszúak
- kör írható köré (Vagyis van olyan kör, amelyre a húrtrapéznak mind a négy csúcsa illeszkedik, ezt hívjuk köré írható körnek). Így a trapéz oldalai a kör húrjai lesznek - innen a húrtrapéz elnevezés.
- tengelyesen szimmetrikus, ezért úgy is emlegetik, hogy szimmetrikus trapéz
- 2-2 szöge egyenlő

Mi az a derékszögű trapéz? Mi jellemzi?

Egy másik speciális trapéz a derékszögű trapéz. Ennek is beszédes az elnevezése, könnyen definiálhatjuk: azt a trapézt nevezzük derékszögű trapéznak, amelynek van derékszöge.

A trapéz tulajdonságaiból (az egy száron fekvő szögek összege 180°) következik, hogy ha van derékszöge, akkor rögtön kettő is van.

Speciális trapézok még a paralelogrammák  (amiknek nem csak egy, hanem kettő párhuzamos oldalpárjuk is van), azokon belül a rombuszok, a téglalapok, és  a négyzetek – ezek mind mind speciális trapézok, hiszen van egy párhuzamos oldalpárjuk.

Milyen trapézos feladatok vannak?

A leggyakoribb trapézos feladatok a kerületre, területre, szögekre vonatkoznak.

1. feladat: Egy húrtrapéz alapjai 4 cm és 10 cm hosszúak. Mekkorák a szárai, ha a kerülete 24 cm ?

Megoldás: a = 4 cm,  c = 10 cm, K = 24 cm, b = ? d = ?

A trapéz kerület-képlete:
K = a + b + c + d,   ebbe behelyettesíthetjük az adatokat: 24 cm = 4 cm + b + 10 cm + d

Húrtrapéz esetén a szárak egyenlők: b = d, emiatt: 24 cm = 14 cm + 2∙b

Innen könnyen megkapjuk, hogy b = 5 cm. Tehát a trapéz szárai 5 cm-esek.

2. feladat: Egy trapéz egyik alapjának hossza 4 cm, magassága 5 cm, a területe 30 cm². Milyen hosszú a trapéz másik alapja?

Megoldás: a = 4 cm, m = 5 cm, T = 30 cm², c = ?

A trapéz területképletét fogjuk használni: 

T = (a + c) / 2 · m Ebbe behelyettesítjük az adatokat (mindent cm-ekben):

30 = (4 + c) / 2 · 5
6 = (4 + c)  / 2
12 = 4 + c
8 = c

Tehát a trapéz másik alapja 8 cm hosszú.

3. feladat: Egy trapéz hosszabbik alapján fekvő szögei nagysága 65° és 50°. Mekkora a többi szöge?

Megoldás: α = 65°, β = 50°, γ = ? , δ = ?

Célszerű lerajzolni:

Felhasználjuk, hogy a trapézban az egy száron fekvő szögek összege 180°.

Tehát, a mostani jelöléseinkkel: α + δ = 180° és β + γ = 180°

Behelyettesítve az adatokat:   65° + δ = 180° és 50° + γ = 180° Innen megkapjuk, hogy a trapéz két hiányzó szöge: δ=115° és γ=130°.

Ha már legalább 8. osztályos vagy, akkor tipikus trapézos feladatoknak számítanak azok, amelyekben a Pitagorasz-tételt is kell használni. Nézzünk egy ilyet is!

4. feladat: Egy trapéz alapjai 2 cm és 10 cm hosszúak, az egyik szára 5 cm-es, a magassága 4 cm. Mekkora a hiányzó szára?

Megoldás: a = 2 cm, b = 5 cm, c = 10 cm, m = 4 cm, d = ?

Mindenképpen egy jó rajzzal érdemes kezdeni, amin bejelölünk minden adatot. Vigyázat! 2 megoldás is van!!

Ennek a feladattípusnak az a kulcsa, hogy két helyre is érdemes berajzolni a magasságot, így középen egy téglalapot kapunk. Ennek segítségével kiszámolhatók a téglalap mellett keletkező kis háromszögek oldalai is.
A hosszabb alapot a berajzolt két magasság három részre osztja, nevezhetjük az egyiket x-nek, a középső 2 cm, a harmadik rész legyen y.

Ebből kapjuk a következő összefüggést: x + 2 + y = 10
Azzal a kis háromszöggel tudunk elindulni, amelyben 2 oldalt ismerünk. Ebben felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:
x² + 4² = 5²
x² + 16 = 25
x² = 9
x = 3

Ezt beírva az első egyenletünkbe: 3+2+y=10, könnyen megkapjuk, hogy y=5.
Így most már a másik kis háromszögben is ismerünk 2 oldalt, így abban is érdemes felírnunk a Pitagorasz-tételt:
4² + 5² = d²
16 + 25 = d²
41=d²

Ebből számológéppel gyököt kell vonnunk, így lesz meg d értéke: d = 6,4. Tehát a trapéz hiányzó szára 6,4 cm hosszú.

Az euklideszi szerkesztésekről, négyszögek szerkesztéseiről olvashatsz ebben a tankönyvben.

Elolvasom

Matematika Érettségi 2024 -Újdonságok

2024. április 22.

Miben lesz más a 2024-es matematika érettségi? Változtak idén az érettségi követelmények matematikából is. Összegyűjtöttük a 2024-es matematika érettségi újdonságait. Box-plot-diagram, várható érték, gyűjtőjáradék-számítás,...