Emelt matematika 11. osztály

Trigonometria

• 01. Hegyesszögek szögfüggvényei

  a) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További izgalmas témákat nézünk át a trigonometria témakörön belül. A szögfüggvények ismerete nagyon fontos a geometriai számításokban. Derékszögű háromszögek hiányzó adatait a szinusz (sin), koszinusz (cos), tangens (tg), kotangens (ctg) szögfüggvények segítségével könnyedén kiszámíthatjuk. Nézd át mindezt ezen az interaktív oktatóvideón, és gyakoroljunk közösen!

  b) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Trigonometria gyakorlás. Gyakorold velünk a sin, cos, tg, ctg szögfüggvények használatát!

  c) Hegyesszögek szögfüggvényei

  Játék   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  JÁTÉK! Telepítsd be a tengeri akváriumot! Derékszögű háromszögekben keressük az alfa vagy a béta szög szögfüggvényeit. El kell döntened, hogy a felírt tört a megadott szög szinuszával, koszinuszával, vagy épp tangensével-kotangensével egyezik meg. Látni fogod utána a magyarázatot is, így a végére már magabiztosan fogod tudni használni a szögfüggvényeket.

  d) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Hét feladat megoldásával gyakorolhatod a szögfüggvények használatát derékszögű háromszögekben. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  e) Szögfüggvények alkalmazása 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Alkalmazzuk azokat az összefüggéseket, amiket a trigonometria témakörben eddig tnaultunk. Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik. Sorra vesszük a nevezetes (30, 45, 60 fokos) szögek szögfüggvényeit. Alkalmazzuk a szögfüggvényeket sík-és térgeometriai feladatokban.

  f) Szögfüggvények alkalmazása 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik. További sík-és térgeometriai feladatokkal gyakorolhatsz a trigonometria témakörében.

  g) Szögfüggvények és alkalmazásuk

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Trigonometria teszt: gyakorold a szögfüggvények alkalmazását! Feladatok, melyek megoldásával letesztelheted mennyire sikerült elsajátítanod a szögfüggvényekről tanultakat. Keresd meg a rajzokon a derékszögű háromszögeket, és írd fel a szögek szögfüggvényeit!  

  h) TESZT! Hegyesszögek szögfüggvényei

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Keresd a derékszögű háromszögeket, és a szögfüggvények segítségével határozd meg a hiányzó oldalakat, szögeket! Dolgozz önállóan, majd ellenőrizd a magad! Kiértékelés után láthatod a részletes megoldásokat!

• 02. NAT 2020-as kiegészítés középszinthez

  a) Tangens : az alapok röviden

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Kezdjük el az ismerkedést a trigonometria témakörével. Mi is az a tangens? Ezt fogjuk ezen a videón megtanulni.

  b) Teszt: Tangens alapok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorold a tangens szögfüggvényt! Oldd meg egyedül a feladatokat, és ha készen vagy, az értékelésnél láthatod az ereményedet és a részletes magyarázatokat is. Teszteld a tudásod, mielőtt továbbmennél a trigonometria témakörében!

  c) Tangens szögfüggvény gyakorlása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Trigonometria gyakorlás vár ránk. Gyakoroljuk feladatokban a tangens szögfüggvényt.  

• 03. Szögfüggvények általánosítása

  a) Szögfüggvények közti összefüggések

  Tananyag   | Kezdés »

  Pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat. Megvizsgáljuk milyen összefüggés van pótszögek szinusza, koszinusza, tangense, és kotangense között, fontos trigonometria összefüggéseket tanulunk.

  b) Szögfüggvények közti összefüggések II. rész

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Trigonometrikus Pitagorasz-tétel. Levezetjük a trigonometrikus Pitagorasz-tételt, ami gyakran jelenik meg érettségi feladatsorokban is. Derékszög szinusza, koszinusza. Megtanuljuk alkalmazni az egységkört, és levezetjük, hogy mennyi 90° szinusza és koszinusza. Tompaszög szinusza, koszinusza. Bővítjük trigonometria ismereteinket: további azonosságokat fedezünk fel a tompaszögek körében.

  c) Szögfüggvények közti összefüggések - feladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakorló feladatok: trigonometrikus azonosságok. Az előző videóban tanultakat feladatokon keresztül alkalmazzuk.

  d) A sin x általánosítása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban a szinusz szögfüggvény általánosítását vezetjük be, megnézzük a függvény tulajdonságait és a szinuszos alapegyenleteket. Azt is részletesen elmagyarázzuk, mi is az a radián, mert erre is szükség van a trigonometrikus egyenletek megoldásához.

  e) A sin x általánosítása - radián

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Részletesen elmagyarázzuk, mi is az a radián, mert erre is szükség van a trigonometrikus egyenletek megoldásához.

  f) A sin x általánosítása - szinuszfüggvény

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Szinuszfüggvény jellemzését nézzük meg. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, paritás. A szinuszfüggvény periodikus függvény.

  g) A sin x általánosítása - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk feladatokban, amit a szinusz x általánosításáról tanultunk.

  h) A cos x általánosítása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban a szinusz-függvény után a koszinusz-függvény általános definícióját nézzük át.

  i) A cos x általánosítása - koszinuszfüggvény

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban a szinusz-függvény után a koszinusz-függvény általános definícióját, a koszinusz-függvény tulajdonságait nézzük át. Feladatokkal gyakorlunk.

  j) A cos x általánosítása - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban a koszinusz-függvény általános definíciójával kapcsolatos feladatokat oldunk meg.

  k) A tg x és ctg x általánosítása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A tg x és ctg x alkalmazását és függvényeiket vizsgáljuk ebben a videóban. Meghatározzuk a definíciót: tg x = a megoldása; ctg x = a megoldása

  l) A tg x és ctg x általánosítása - tangensfüggvény jellemzése

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megvizsgáljuk a tangensfüggvényt, jellemezzük (értelmezési tartomány, értékkészlet, növedés-csökkenés, stb.) és transzformáljuk.

  m) A tg x és ctg x általánosítása - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A tg x és ctg x általánosításával kapcsolatos feladatokat gyakorolhatsz ebben a videóban.

  n) Gyakorlás - szögfüggvények általánosítása 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban gyakorló feladatokat találsz a szögfüggvények általánosításáról tanultak ellenőrzésére.

  o) Gyakorlás - szögfüggvények általánosítása 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban további gyakorló feladatokat találsz a szögfüggvények általánosításáról tanultak ellenőrzésére. Háromszög területének kiszámítását gyakorolhatod két oldal és az általuk bezárt szög ismeretében.

  p) Legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorold be a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását, mert ez az alapja a nehezebb feladatok megoldásának! Figyelj a periódusra, és arra, ha több megoldás is van! Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 04. Szinusz- és koszinusz-tétel

  a) Szinusz- és koszinusz-tétel

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a matematikai oktatóvideó a szinusz és koszinusz-tétel használatára tanít meg téged. Fontosak ezek a tételek a trigonometria témakörében, hisz minden háromszögben alkalmazhatók. Ha a háromszög oldalai és szögei közül hiányzó adatokat kell kiszámolnunk, bizonyos esetekben a szinusztételt, máskor a koszinusz-tételt kell használni. Azt is megtanulhatod a videóról, mikor melyik tételt kell használni.

  b) Szinusz- és koszinusz-tétel - gyakorlás 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ha a háromszög oldalai és szögei közül hiányzó adatokat kell kiszámolnunk, bizonyos esetekben a szinusztételt, máskor a koszinusz-tételt kell használni. Többféle feladattal gyakorolhatsz.

  c) Szinusz- és koszinusz-tétel - gyakorlás 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Geometriai feladatokat oldunk meg, melyek megoldásával gyakorolhatod a szinusz-, és a koszinusz-tétel alkalmazását. Figyelj, mikor melyiket kell alkalmazni, melyik adat hiányzik a háromszögben.

  d) Gyakorlás - szinusz- és koszinusz-tétel 3.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További geometriai feladatokat oldunk meg, melyek megoldásával gyakorolhatod a szinusz-, és a koszinusz-tétel alkalmazását. Figyelj, mikor melyiket kell alkalmazni, melyik adat hiányzik a háromszögben.

  e) Szinusz- és koszinusztételes feladatok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! További hét feladatot oldhatsz meg önállóan a szinusz-, és a koszinusz tétel alkalmazásának gyakorlására. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 05. Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek

  a) Trigonometrikus egyenletek

  Tananyag   | Kezdés »

  Ebben a videóban különböző trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod. Bemutatjuk azokat a típusfeladatokat, amik középszinten jellemzőek, illetve igyekszünk támpontokat adni az ilyen egyenletek megoldásához. A feladatok megoldásánál feltételezzük, hogy az alapegyenletekkel (sin x = a; cos x = a; tg x; ctg x = a típusú feladatok általános megoldásával) már tisztában vagy.

  b) Trigonometrikus egyenletek - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod velünk további tíz feladat megoldásával. A szinusz, koszinusz, tangens, kotangens szögfüggvények összefüggéseit alkalmazva megmutatjuk a típusfeladatokat és a megoldásuk mesterfogásait.

  c) Trigonometrikus egyenletek

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod! További feladatokat találsz ebben a videóban, melyekkel a trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  d) Trigonometrikus egyenlőtlenségek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az egyenletek után a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásával is foglalkozunk. Tisztázzuk a tudnivalókat a nevezetes szögekről, meghatározzuk a tartományt, a periódust, amiben számolunk. Szinusz, koszinusz, tangens, kotangens szögfüggvényekkel is dolgozunk. Feladatokat oldunk meg a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának gyakorlására.

Számelmélet, számrendszerek

• 06. Oszthatóság, lnko, lkkt, számrendszerek

  a) Számelmélet

  Tananyag   | Kezdés »

  Összefoglaljuk a számelmélet alapjait: Osztó, oszthatóság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Beszélünk a prímszámokról, prímtényezős felbontásról, relatív prímekről.

  b) Oszthatósági szabályok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Felelevenítjük az oszthatósági szabályokat: Mikor osztható egy szám kettővel (néggyel, öttel, hárommal, nyolccal, kilenccel)? Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

  c) Számrendszerek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A számelmélet alapjai után a számrendszerekről tanulunk (pl.: tizes-, kettes-, ötös alapú számrendszer). Megvizsgáljuk a számok értékét más számrendszerben. Megtanuljuk felírni a számokat különböző számrendszerekben. Megmutatjuk, milyen számokat használhatunk, melyek azok, amik nem léteznek bizonyos számrendszerekben. Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

  d) Gyakorlás Számelmélet

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Önálló munkára hívunk a számelmélet témában: legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó, Oszthatóság, osztási maradékok, számok átírása adott számrendszerbe. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Exp. és logaritm.

• 07. Hatvány, gyök

  a) Hatványozás (ismétlés)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A hatványozás, a gyökvonás és a logaritmus összefüggenek egymással. A hatványozás az alapja mindennek, tehát nagyon fontos, hogy tisztában legyél ezek azonosságaival, és alkalmazni is tudd őket. Átismételjük a hatványozást egész kitevővel. Meghatározzuk a hatványozás definícióját, a hatványozás azonosságait. Feladatokat oldunk meg együtt a hatványozás gyakorlására.

  b) Négyzetgyök (ismétlés) 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A négyzetgyök fogalmával már korábban is találkozhattál. Sorra vesszük a négyzetgyök átalakítás azonosságait. Megvizsgáljuk, mit lehet "kihozni", kiemelni a gyökjel alól.

  c) Négyzetgyök (ismétlés) 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A négyzetgyök fogalmával már korábban is találkozhattál. Megvizsgáljuk, mit lehet bevinni a gyökjel alá. A törtek (nevező) gyöktelenítéséről is tanulunk. Példákat, feladatokat oldunk meg gyökvonással kapcsolatban. Ismételjük át mindezt.

  d) n-edik gyök

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A gyökvonás nemcsak négyzetgyököt jelenthet. Megvizsgáljuk, mit is jelent a 3., 4., stb. gyök, hogyan lehet számolni vele. Mi történik páros és páratlan n szám esetén, megnézzük, milyen feltételeknek kell megfelelni.

  e) n-edik gyök - azonosságok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az n-dik gyökvonás azonosságaival is foglalkozunk. Hozzuk közös gyökjel alá! A gyökök kitevőit is össze lehet szorozni, mint a hatványkitevőket.

  f) n-edik gyök, törtkitevős hatvány

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A mostani matekvideóban először is az n-edik gyök fogalmát ismételjük át, példákkal, foglalkozunk a páros és páratlan gyök közötti különbségekkel. Aztán megnézzük, mit jelent az, ha a hatvány kitevőjében egy törtszám áll. Majd megmutatjuk, hogy így egyesítve a gyökvonást a hatványozással, mennyivel könnyebb a törtkitevőkkel műveleteket végezni.

  g) n-edik gyök, törtkitevős hatvány - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk a törtkitevős hatványokkal kapcsolatos feladatokat.

  h) n-edik gyök, törtkitevős hatvány - összetett feladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk a gyökös és törtkitevős hatványok átalakítását. Alkalmazd a hatványozás és a gyökvonás azonosságait és hozd egyszerűbb alakra a kifejezéseket!

  i) Törtkitevős hatvány

  Játék   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  JÁTÉK! Építs fel és rendezz be egy modern családi házat! A törtkitevős hatványok értelmezését, átalakítását gyakorolhatod a feladatokkal. Döntsd el, hogy helyes-e a számolás vagy átalakítás eredménye. Utána látni fogod a magyarázatot is. Mire elkészül a ház, profin fogsz bánni a törtkitevős hatványokkal.

  j) Törtkitevős hatvány

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! A hatványozásról és a gyökvonásról tanultakat gyakorolhatod a feladatok megoldásával. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 08. Exponenciális egyenletek, exp.-log. függvények

  a) Exponenciális egyenletek

  Tananyag   | Kezdés »

  Ha jól tudod a hatványozás azonosságait, akkor az exponenciális egyenletek megoldása is menni fog. Nézzük meg ennek lépéseit, a típusfeladatokat, és gyakoroljuk ezek megoldását! Sok gyakorló példa vár.

  b) Exponenciális egyenletek - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk tovább az exponenciális egyenletek megoldását. Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait a feladatmegoldáshoz.

  c) Exponenciális szöveges feladatok 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megoldunk néhány szöveges feladatot, amiből exponenciális egyenletet írhatunk fel, esetleg még a logaritmusra is szükségünk lehet.

  d) Exponenciális szöveges feladatok 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További szöveges feladatokat oldunk meg, amiben exponenciális egyenlet szerepel.

  e) Exponenciális egyenletek

  Játék   | Kezdés »

  JÁTÉK! Oldd meg az exponenciális egyenleteket, és szerezd meg az elsüllyedt hajók kincseit! Vizsgáld meg minden lépésben, hogy jó-e a levezetés, helyes-e az átalakítás.

  f) Exponenciális egyenletek

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Dolgozz önállóan, kiderül, elsajátítottad-e az exponenciális egyenletekről szóló tudnivalókat. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  g) Az exponenciális és a logaritmus függvények

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ezen a videón az exponenciális függvényekkel és a logaritmikus függvényekkel ismerkedünk. Átnézzük ezeknek a függvényeknek a tulajdonságait, megvizsgáljuk, hogyan függ a függvények menete az alaptól: a logaritmus alapjától illetve a hatvány alapjától.

• 09. Logaritmus, logaritmikus egyenletek

  a) Logaritmus - definíció, alapok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A logaritmus művelete sok szempontból a legnehezebb fogalmak közé tartozik a középszintű matematikában. Ez a videó úgy mutatja be a logaritmus definícióját, és az ehhez kapcsolódó feladatokat, hogy az emészthető legyen bárki számára. Hogyan kell "levarázsolni" a hatvány kitevőjét, aztán hogyan kell áttérni más alapra, ilyeneket is begyakorolhatsz ezzel a videóval.

  b) Logaritmus - egyszerű egyenletek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk, amit eddig tanultunk a logaritmusról. Néhány egyszerű egyenletben alkalmazzuk a logaritmus definícióját.

  c) Logaritmus alapjai

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tesztelt a tudásod az alábbi feladatokkal: Határozd meg a logaritmusok értékeit!; Oldd meg a logaritmusos egyenleteket!; Számítsd ki a közelítő értékét! Sok sikert! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  d) Logaritmikus egyenletek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a matematikai oktatóvideó a logaritmikus egyenletek (vagy logaritmusos egyenletek) különböző fajtáit mutatja be. Sorra vesszük a logaritmus azonosságait, és gyakorolhatod is a feladatmegoldást.

  e) Logaritmus azonosságok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Oldd meg a feladatokat a logaritmus-azonosságok alkalmazásával! Logaritmusos matematika feladatok megoldását gyakorolhatod önállóan, majd kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  f) Logaritmus gyakorlása

  Játék   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  JÁTÉK! Építsd fel a városodat a mezőre! El kell döntened a logaritmusokról, vagy a velük végzett műveletekről, hogy az átalakítás helyes vagy helytelen. Látni fogod utána a magyarázatot is. Így a végére profin tudsz majd bánni a logaritmussal és az azonosságaival.

  g) Logaritmikus egyenletek

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod! Add meg a következő logaritmikus egyenletek megoldásait logaritmus azonosságok felhasználásával! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 10. Exp. és log. egyenlőtlenségek, gyakorlás

  a) Exp és log egyenlőtlenségek

  Tananyag   | Kezdés »

  Ez a videó az exponenciális és a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának rejtelmeibe vezet be. Növekvő vagy csökkenő a függvény? Melyik hatvány a nagyobb? Hogyan változik a relációs jel? Feladatokat oldunk meg exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségekkel.

  b) Logaritmus felmérő

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Az alábbi tesztben próbára teheted tudásod a logaritmus definíció és logaritmus azonosságok alkalmazása, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenlet-rendszerek és a logaritmus függvény ábrázolása terén. Dolgozz önállóan, majd a kiértékelésben levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  c) Gyakorlás Exponenciális feladatok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod az exponenciális egyenleteket, egyenlőtlenségeket terén! Ábrázold koordináta-rendszerben a függvényt! Dolgozz önállóan, majd a kiértékelés során levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  d) Teszt: Exponenciális feladatok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorold az exponenciális feladatok megoldását. Értékelés után láthatod a részletes megoldásokat is.

Egyenletrendszerek

• 11. Egyenletrendszerek megoldása

  a) Egyenletrendszerek megoldása - módszerek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Elsőfokú egyenletrendszerek megoldási módszereit ismertetjük. Kifejezzük az egyik ismeretlent az egyik egyenletből, majd visszahelyettesítjük a másik egyenletbe. Másik módszer az egyenlő együtthatók módszere. Továbbá lehetséges az új ismeretlen bevezetése is. Tarts velünk, biztos megérted Te is!

  b) Egyenletrendszerek - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az előző videóban tanultakat gyakorolhatod most. Egyenletrendszereket kell megoldanunk az egyik ismeretlen kifejezésével, illetve az egyenlő együtthatók módszerével.

  c) Gyakorlás Egyenletrendszerek

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Ezekkel a feladatokkal gyakorolhatod az elsőfokú egyenletrendszerek megoldásának különböző módszereit. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  d) Másodfokú és egyéb egyenletrendszerek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Másodfokú, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek megoldásának lépéseit, módszereit sajátíthatod el ebben a videóban. Fejezzük ki az egyik egyenletből az egyik ismeretlent, majd helyettesítsük be a másik egyenletbe!

  e) Gyakorlás: trig. és exp-log egyenletrendszerek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Tovább gyakorolhatod az exponenciális, logaritmikus-, és trigonometrikus egyenletrendszerek megoldását. Sok gyakorló feladatot oldunk meg együtt.

Koordinátageometria

• 12. Alapok

  a) Vektorok (ismétlés)

  Tananyag   | Kezdés »

  A vektorok irányított szakaszok. Először azokat a vektorokkal kapcsolatos ismereteket nézzük át, amelyekkel valószínűleg már találkoztál. Vektorműveleteket végzünk, vektorokat adunk össze és vonunk ki egymásból, vektort számmal szorzunk összefűzés, paralelogramma módszerével. Elmondjuk, mikor melyik módszert érdemes vagy kell alkalmazni. Megismerkedünk a helyvektor és a háromszög súlypontjába mutató helyvektor fogalmával. Vektoros feladatokat oldunk meg együtt.

  b) Alapok - vektorműveletek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A koordinátageometria tanulását ezekkel az alapokkal kell kezdeni. Ezen a videón mindent megtanítunk a vektorokkal kapcsolatos számításokról: vektor hossza, vektorműveletek koordinátákkal, vektorok hajlásszöge, skaláris szorzata.

  c) Alapok - pontok, szakaszok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megmutatjuk, hogyan kell kiszámolni szakasz hosszát, szakasz felezőpontját, a harmadolópontjait, sőt, még a háromszög súlypontjának koordinátáiról is szó van ebben a tananyagban.

  d) Koordinátageometria alapok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Számítsd ki két pont távolságát! Mennyi a vektor hossza? Írd fel a háromszög súlypontjának koordinátáit! Mennyi a b és c vektor skaláris szorzata? Írd fel a paralelogramma oldalvektorait! Dolgozz önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 13. Egyenes normálvektoros egyenlete

  a) Egyenes egyenlete

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az egyenessel kapcsolatos alapfogalmakat vesszük át ezen a videón: irányvektor, normálvektor, irányszög, meredekség vagy iránytangens. Szó lesz az egyenes normálvektoros egyenletéről, a párhuzamos és merőleges egyenesekről.

  b) Egyenes egyenlete - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Felírjuk háromszögek nevezetes vonalainak egyenletét, és szó lesz egyenesek metszéspontjáról is.

• 14. Egyenes egyenlete meredekséggel (NAT 2020 kieg.)

  a) Az egyenes egyenlete (meredekség)

  Tananyag   | INGYENES használathoz regisztrálj ITT

  Egyenes egyenlete. Meredekségével adott egyenes egyenletét tanuljuk meg ebben a tananyagban. Rajta van a P pont az egyenesen? Feladatokban gyakoroljuk az egyenes egyenletét. Megtanuljuk hogyan lehet megállapítani, hogy egy pont rajta van-e az egyenesen. Interaktív matematika tananyag. Közösen gondolkodva ismerjük meg alakzat egyenletét, egyenes egyenletét.

  b) Egyenesek metszéspontja

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Hogyan számoljuk ki két egyenes metszéspontjának koordinátáit? Ebben a tananyagban erre a koordinátageometriai kérdésre keressük a választ. Konkrét feladatokban keressük meredekséges egyenlettel megadott egyenesek metszéspontját. 

  c) Két ponton átmenő egyenes egyenlete

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ha adott két pont a koordinátáival, akkor mi a rajtuk átmenő egyenes egyenlete? Ebben a tananyagban mutatunk három módszert, amivel meg tudod határozni két ponton átmenő egyenes egyenletét.

  d) Párhuzamos és merőleges egyenesek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Párhuzamos egyenesek. Mikor párhuzamos két egyenes? Érettségi követelmény, hogy a tanuló ismerje meredekséggel megadott egyenesek párhuzamosságának koordinátageometriai feltételeit.  Ebben a tananyagban konkrét példákon keresztül sajátítjuk el a módszert. Merőleges egyenesek. Mikor merőleges két egyenes a koordinátarendszerben? Érettségi követelmény, hogy a tanuló ismerje meredekséggel megadott egyenesek merőlegességének koordinátageometriai feltételeit.   Interaktív tananyagunkban erről tanulunk.

  e) Egyenes egyenlete (meredekség) - TESZT

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Meredekségével adott egyenes egyenlete teszt. Ebben a tesztben tudod gyakorolni, amit az egyenes egyenletéről tanultunk.  

• 15. A kör egyenlete

  a) Egyenes egyenlete

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorló feladatokat találsz ebben a videóban: Mennyi az egyenes meredeksége? Írd fel a P és Q pontokon átmenő egyenes egyenletét! Írd fel a C csúcson átmenő magasságvonal egyenletét! Határozd meg a két egyenes metszéspontját!

  b) Kör egyenlete

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban a kör egyenletével ismerkedhetsz meg. Megtanulhatod, hogyan kell felírni a kör egyenletét, visszafelé: hogyan lehet az egyenletből kiszámítani a középpont koordinátáit és a sugarát. Hogyan kell felírni a kör érintőjének egyenletét, kiszámítani körök és egyenesek metszéspontjait. Kattints és nézz körül az évfolyam videói között!

  c) Kör egyenlete

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorló feladatokat találsz ebben a videóban: Írd fel a kör egyenletét! Rajta van-e a k körön a P pont? Dolgozz önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 16. Emelt szint, parabola egyenlete

  a) Koordinátageometria 1. (egyenes, kör)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Összeszedjük, hogy mik azok a tananyagok, amiket jól kell tudnod, a koordinátageometria témakörében. Jól kell bánnod a pontokkal, vektorokkal, és fel kell írnod egyenes ill. kör egyenletét, valamint ezek metszéspontját is.

  b) Koordinatageometria 2. (parabola)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megismerkedünk a parabolával. Megtanuljuk minden nevezetes részét és egy érettségi feladaton keresztül alkalmazzuk is az ismereteinket. Ezen kívül két májusi érettségi feladatot oldunk meg közösen.

• 17. Gyakorlás

  a) Gyakorlás 1.: Alapfeladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Írd fel az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! Írd fel az ABC háromszög mb magasságvonalának egyenletét! Írd fel az AB átmérőjű kör egyenletét! Számítsd ki a k kör és az mb metszéspontjának (metszéspontjainak) koordinátáit!

  b) Gyakorlás - Összetett feladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Olyan matematika feladatokat oldunk meg, melyekben szükség van az elemi geometriai és a koordináta geometriai ismereteinkre is: háromszöggel és paralelogrammával kapcsolatos feladatok várnak.

  c) Gyakorlás 3.: Összetett feladatok /b

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Újabb koordináta geometriai feladatok várnak: körrel, háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos koordináta geometriai kérdéseket kell megválaszolni. Oldjuk meg együtt ezeket az összetett feladatokat!

  d) Gyakorlás Koordinátageometria I.

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Önálló munkára hívunk. A koordinátageometriából tanult ismeretek alkalmazását gyakorolhatod a három-, és négyszögekkel kapcsolatos feladatok megoldásával. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  e) Gyakorlás Koordinátageometria II.

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! További koordinátageometriai feladatok gyakorláshoz; Írd fel az AB átmérőjű kör egyenletét! Írd fel a kör érintőjének egyenletét! Határozd meg a körök metszéspontjainak a koordinátáit!

Kombinatorika, gráfok, valószínűség

• 18. Kombinatorika, gráfok

  a) Permutációk

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az első fontos kombinatorikai fogalom, amivel megismerkedünk a permutáció, azaz sorbarendezés. Gyakorló feladatokon keresztül ismerkedünk meg a fogalommal, megbeszéljük a legfontosabb tulajdonságokat. 

  b) Variációk

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A kombináció fogalmával folytatjuk a kombinatorikát. Feladatokon keresztül megismerjük a kombinációkat, megtanuljuk a legfontosabb tulajdonságokat.

  c) Kombinációk

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A kombinatorika témát a kombinációk tárgyalásával folytatjuk. Feladatokon keresztül megismerjük, felfedezzük a kombináció fogalmát.

  d) Kombinatorika - vegyes feladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a tananyagban feladatokban gyakoroljuk, amit a permutációkról, variációkról és kombinációkról tanultunk.

  e) Gyakorlás Kombinatorika

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorlófeladatok önálló megoldására hívunk a kombinatorika témaköréből: Hányféle sorrend/megoldás lehetséges? Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  f) Gráfok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megismerkedünk a gráfok fogalmával, pontjaival, éleivel, és a köztük lévő összefüggésekkel. Megtanuljuk a gráf készítését. Feladatokat oldunk meg a gráfok témaköréből, gráfok segítségével.

  g) Gráfok - teljes gráf

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megismerkedünk a teljes gráf fogalmával, feladatokat oldunk meg a gráfok témaköréből, gráfok segítségével.

  h) Gráfok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Ellenőrizd a tudásod! Rajzolj gráfokat, állapítsd meg, hogy lehet-e adott fokszámú gráfot rajzolni, számítsd ki a teljes gráf éleinek számát, szemléltesd gráfokkal a szöveges feladatokat.

• 19. Valószínűségszámítás

  a) Valószínűségszámítás alapjai, eseményalgebra

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ezen a videón a valószínűségszámítás alapjaival ismerkedhetsz meg. A klasszikus valószínűségi modellel, az alkalmazásával, egy kis eseményalgebrával, események összegének és szorzatának valószínűségével.

  b) Valószínűségszámítás - komplementer események

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Folytatjuk a valószínűségszámítás gyakorlását a komplementer események valószínűségével. Példák és gyakorlófeladatok teszik lehetővé, hogy ellenőrizd magadat.

  c) Valószínűségszámítás (Klasszikus valószínűségi modell)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A valószínűségszámítás alapja a klasszikus valószínűségi modell. A kedvező esetek számát osztjuk az összes eset számával. Megmutatjuk azt is, hogy mik a független események.  

  d) Valószínűségszámítás (Komplementer esemény, visszatevés)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megismerkedünk a komplementer esemény fogalmával és a visszatevéses mintavétellel.

  e) Geometriai valószínűség

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Beszélünk a geometriai valószínűségről. Gyakorló feladatokat oldunk meg együtt.

  f) Valószínűségszámítás - gyakorlófeladatok 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakorló feladatokat oldunk meg együtt: Mekkora az esélye, hogy lányt választunk?

  g) Valószínűségszámítás - gyakorlófeladatok 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakorló feladatokat oldunk meg együtt: Mekkora a valószínűsége, hogy elsőre sárgát, aztán kéket és végül pirosat húzunk? Mekkora a valószínűsége, hogy mindkét kockával 6-ost dobunk?

  h) Valószínűségszámítás - gyakorlófeladatok 3.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakorló feladatokat oldunk meg együtt: Milyen sorrendben érkeznek a vendégek a házibuliba? Mekkora az esélye, hogy elsőnek jön. akit szeretnénk?

  i) Valószínűségszámítás - Mintavétel visszatevés nélkül

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az új követelményekben a mintavételek valószínűsége külön hangsúlyosan szerepel. Ebben a videóban ezt könnyen megtanulhatod, részletesen kitérünk a visszatevés nélküli mintavételre.

  j) Valószínűségszámítás - Mintavétel visszatevéssel

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az új követelményekben a mintavételek valószínűsége külön hangsúlyosan szerepel. Ebben a videóban ezt könnyen megtanulhatod, részletesen kitérünk a visszatevéses mintavételre is, valamint a binomiális eloszlásra. Találsz olyan mintavételtől független feladatokat is, ahol alkalmazhatók ezek az ismeretek.

  k) Gyakorlás Valószínűségszámítás

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Önálló munkára hívunk. Feladatok megoldásával gyakorolhatod a valószínűségszámításból szerzett ismereteidet, tudásodat. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Statisztika

• 20. Alapfogalmak, grafikonok értelmezése, készítése

  a) Átlag, medián, módusz

  Tananyag   | Kezdés »

  A statisztika alapjait ismételjük át. Megtanuljuk, mik azok a középértékek. Hogyan számoljuk ki az átlagot, mediánt, móduszt? Az adatok osztályba sorolásáról lesz szó. Példákat, feladatokat oldunk meg az átlag, módusz, medián értékének meghatározására.

  b) Átlag, medián, módusz - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az adatok osztályba sorolása, átlag, módusz, medián a témája ennek a gyakorló tananyagnak.  Sikerül hibátlanul megoldani a feladatokat?

  c) Terjedelem, szórás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az adathalmazok fontos jellemzőit vesszük sorra: terjedelem, átlagos abszolút eltérés és szórás. Nem mindegy, hogy a halmaz csak egymáshoz nagyon közeli értékeket tartalmaz, vagy vannak elszórt értékek is. Megvizsgáljuk, mi a szórásnégyzet. Feladatokat oldunk meg a terjedelem, átlagos abszolút eltérés és szórás kiszámítására.

  d) Kvartilisek, sodrófa diagram

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Kvartilisek. Megismerkedünk az alsó- és felső kvartilis fogalmával. Interaktívan tanulhatod meg, hogyan oldj meg olyan statisztika feladatot, amiben kvartilisek szerepelnek. Box-plot diagram vagy sodrófa diagram. Megtanuljuk, hogyan készítsünk adott adatsokasághoz box-plot, azaz sodrófa diagramot. 

  e) Kvartilisek, sodrófa diagram - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További feladatok a kvartilisek és a sodrófa vagy boxplot diagram gyakorlásához.

  f) Grafikonok értelmezése

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A statisztikai eredményeket grafikusan is kiértékelhetjük. A különböző grafikonokat mutatjuk be: kördiagram, hisztogram, sávdiagram, oszlopdiagram. Megtanuljuk értelmezni a grafikonokat, leolvasni az adatokat a grafikonról.

  g) Grafikonok (diagramok) készítése

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megmutatjuk, hogyan kell oszlop-, sáv-, és kördiagramot készíteni a rendelkezésünkre álló adatokból. Ezen az interaktív oktatóvideón összefoglaljuk mindazt, amit középszinten tudni kell a grafikonok készítéséről. Hogyan kell oszlopdiagramot készíteni, mennyiben más a sávdiagram, és mi a titka a kördiagramok készítésének.

  h) Statisztika

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod a statisztikából tanultakról: átlag, módusz, medián meghatározása, adatok leolvasása diagramról, diagramkészítés. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Analízis

• 21. Sorozatok határértéke

  a) Definíciók, alapok

  Tananyag   | Kezdés »

  Megvizsgáljuk a korlátos sorozatokat, az alsó-felső korlátot. Sorozatok monotonitásáról tanulunk: a szigorúan monoton csökkenő és növekvő sorozatokról. Megtanuljuk, mi a konvergencia, mitől konvergens a sorozat, és mit nevezünk a sorozat határértékének. Példákat, feladatokat oldunk meg sorozatokra.

  b) Tételek, végtelenhez tartó sorozatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A határérték számításhoz kapcsolódó tételek bizonyítására kerül sor ezen a videón: sorozatok összegére, különbségére, szorzatára, hányadosára vonatkozó tételek. Gyakoroljuk a határérték számítást példákkal, feladatokkal. Megvizsgáljuk a végtelenbe tartó sorozatokat. Ezek a valódi divergens sorozatok.

  c) Fontosabb sorozatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Nevezetes sorozatok határértékéről lesz szó. Megvizsgáljuk és bizonyítjuk a nevezetes sorozatok tételeit. Beszélünk a Bernoulli egyenlőtlenség, és megtudhatod azt is, mi az a rendőr elv (közrefogási elv). Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

  d) Sorozatok határértéke - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban olyan feladatokat gyűjtöttünk össze, melyek megoldásával gyakorolhatod a sorozatok határértékének kiszámítását. Sok szép feladat vár. Határozd meg a sorozatok határértékét!

• 22. Függvények határértéke, folytonossága

  a) Definíciók, alapok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Függvények határértékéről, függvények folytonosságáról tanulunk. Mikor folytonos és mikor nem folytonos egy függvény? Függvények összegének, különbségének, szorzatának, hányadosának határértékét vizsgáljuk. Példákat, feladatokat oldunk meg függvény határérték-számításának gyakorlásához.

  b) Függvények határértéke

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Függvény jobb és bal oldali határértékéről tanulunk. Példákat oldunk meg jobb és bal oldali határértékre. Megnézzük, hogyan lehet a végtelen határérték. További függvények határértékét vizsgáljuk. Gyakorló feladatokat oldunk meg a függvények határérték számításával kapcsolatosan.

  c) Még egy fontos függvény-típus

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Függvények határértéke. Még egy újabb fontos függvény-típus határértékével foglalkozunk. Hogyan számoljuk ki a függvény hatérértékét, ha tört alakú, a nevezőben is és még a hatványkitevőben is szerepel az ismeretlen. Több feladatban gyakoroljuk.

  d) Gyakorló feladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a videó 14 függvény határérték számítás feladatot és azok megoldását tartalmazza. Először oldd meg a feladatokat, és csak utána nézd meg a megoldásokat!

• 23. Függvények deriválása

  a) Fogalmak, néhány függvény deriváltja

  Tananyag   | Kezdés »

  A differenciálszámítással az analízis egyik fontos mérföldkövéhez érkeztünk. Megtanuljuk mi a differenciahányados és differenciálhányados fogalma, mi a deriváltfüggvény. Meghatározzuk néhány függvény deriváltját: pl. sin x, cos x, ln x ... Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

  b) Deriválási szabályok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Differenciálási szabályokról, vagy más néven deriválási szabályokról lesz szó. Vajon hogyan hat a derivált értékére, ha a függvényekkel műveleteket végzünk: összeg- és különbségfüggvény, szorzat- és hányadosfüggvény deriváltját vizsgáljuk. Példákat, feladatokat oldunk meg a függvények deriválásának gyakorlására.

  c) Összetett függvények deriválása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az összetett függvényekkel foglalkozunk. Összetett függvények deriválását tanuljuk meg. Példákat,feladatokat oldunk meg az összetett függvény deriválásához. Többszörösen összetett függvények deriválására is sor kerül.

  d) Gyakorló feladatok (deriválás)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Összefoglaljuk a deriválásról tanultakat. Elemi függvények deriváltjait és a deriválási szabályokat ismételjük át. Feladatokat oldunk meg a deriválás gyakorlásához.

• 24. Függvényvizsgálat

  a) Függvényvizsgálat

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megtanuljuk, hogyan tudjuk felhasználni a differenciálszámítást a függvényvizsgálatnál: Mit árul el a derivált? Monoton növekvő vagy éppen csökkenő-e a függvény? Mely pontokban van a függvénynek lokális szélsőértéke? Konvex vagy konkáv a függvény? Mit nevezünk inflexiós pontnak?

  b) Függvények, függvényjellemzés -bevezetés

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Meghatározzuk a függvény definícióját, az alaphalmazt és a képhalmazt.

  c) Függvények, függvényjellemzés - folytatás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Meghatározzuk a zérushelyet, a szélsőértéket, a maximum- és minimum helyet (értéket). Megrajzoljuk a függvény grafikonját. A függvények tulajdonságaival foglalkozunk, ez a függvényjellemzés. Mi az értékkészlete, az értelmezési tartománya a függvénynek, csökkenő vagy növekvő a függvény?

• 25. Az integrálszámítás alapjai

  a) Integrálás, alapintegrálok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az integrálást leegyszerűsítve a deriválás fordítottjának mondhatjuk. Beszélünk a határozatlan integrálról, más néven primitív függvényről. Sorra vesszük az integrálási szabályokat. Megvizsgáljuk az alapintegrálokat, majd néhány további függvény integrálját. Feladatok oldunk meg az integrálás gyakorlásához.

  b) Integrálási módszerek 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Beavatunk a különböző integrálási módszerekbe. Összetett függvények deriváltját integráljuk. Megvizsgáljuk az alapintegrálokat. Példákat, feladatokat oldunk meg, integrálási típusok mutatunk be, és gyakoroljuk a számításokat.

  c) Letölthető pdf file: Alapintegrálok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Töltsd le, és nyomtasd ki az alapintegrálokat!

  d) Gyakorló feladatok a 2. videóhoz

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban 14 integrálszámítás feladatot és azok megoldásait találod. Először oldd meg a feladatokat, és csak azután nézd meg a megoldásukat!

• 26. Parciális integrálás és alkalmazások

  a) Parciális integrálás

  Tananyag   | INGYENES használathoz regisztrálj ITT

  A parciális integrálás elvének megértéséhez a szorzatfüggvény deriváltjából indulunk ki. Példákat sorolunk és oldunk meg a parciális integrálásra. Exponenciális függvényeket, trigonometrikus függvényeket, logaritmus függvényeket, area és arkuszfüggvényeket integrálunk.

  b) Határozott integrál és alkalmazásai

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Határozott integrálról tanulunk. Megmutatjuk, hogyan tudjuk kiszámolni egy függvény-görbe alatti területét. Beavatunk a Newton - Leibniz tételbe. Példákat, feladatokat oldunk meg a határozott integrál számítás gyakorlására.

Évvégi ismétlő/ próba pótvizsga feladatsorok

• 27. Ismétlés

  a) 1. feladatsor

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Hat feladat (megoldások nélkül) a 11. osztályos matematika tananyagból, melyek megoldásával ellenőrizheted, illetve próbára teheted a tudásod. Koordinátageometriai feladatok (szinusz-, koszinusz - tétel, egyenes egyenlete), exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek várnak. Útmutatást, jó tanácsokat is adunk ebben a videóban.

  b) 1. feladatsor megoldásai

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az előző videó feladatinak megoldását találod itt. Koordinátageometriai feladatok (szinusz-, koszinusz - tétel, egyenes egyenlete), exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek megoldása vár. Ellenőrizheted magad, és el is magyarázzuk a helyes megoldást.

  c) 2. feladatsor

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Újabb hat feladat (megoldások nélkül) a 11. osztályos tananyagból. Ezek megoldásával kiderítheted, vannak-e hiányosságaid, illetve még jobban rögzítheted mindazt, amit tudsz. Exponenciális függvény ábrázolása, exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek, paralelogramma oldalainak kiszámítása vár, valamint egy koordinátageometriai feladat: Kör és az érintő egyenletének felírása.

  d) 2. feladatsor megoldásai

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az előző videó feladatainak megoldásait találod itt. Exponenciális függvény ábrázolása, exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek, paralelogramma oldalainak kiszámításának megoldása vár, valamint egy koordinátageometriai feladat: Kör és az érintő egyenlete.

  e) 3. feladatsor

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ezt a videót a legnehezebb témakörök gyakorlására tettük be az érettségi tréning videói közé. A 11.-es matekban ez év végi ismétlő feladatsorként ill. próba-pótvizsga feladatsorként szerepel. A példák között szerepel két logaritmusos és egy exponenciális egyenlet, egy trigonometrikus egyenlet, egy geometria példa szinusz,-és koszinusz-tétel gyakorlására, valamint két koordinátageometria feladat. A megoldásokat a következő videón láthatod.

  f) 3. feladatsor megoldásai

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az előző videó feladatainak megoldása vár. Ellenőrizheted magad, és el is magyarázzuk a helyes megoldást. Trigonometrikus-, exponenciális-, logaritmikus egyenleteket kellett megoldanod. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge? Koordinátageometriai feladat: Írd fel a P és Q ponton átmenő egyenes egyenletét! Milyen messze van a kör középpontja az origótól?