Paralelogramma: definíció, terület, kerület, tulajdonságok
Dancsó Imre,
2022. július 19.
Paralelogramma definíciója | Paralelogramma tulajdonságai | Paralelogramma kerülete | Paralelogramma területe | Paralelogramma szerkesztése | Speciális paralelogrammák | Paralelogrammához kapcsolódó feladatok | Paralelogrammához kapcsolódó feladatok szögfüggvényekkel
Ebben a cikkben röviden összefoglaltuk a paralelogrammáról a legfontosabb tudnivalókat. Ha csak most kezdesz ismerkedni a paralelogrammákkal, itt sok hasznos dolgot találsz róluk, ha pedig ismételni szeretnél, gyorsan át tudod látni a legfontosabb ismereteket.
A paralelogramma egy speciális négyszög-fajta. Olyan, mintha egy téglalap felső oldalát arrébb nyomtuk volna, és az oldalai kicsit kidőltek volna a merőlegesből. Ha ezt megjegyzed, nem lesz gondod vele, hogy felismerd.
Mi a paralelogramma fogalma, definíciója?
A paralelogramma nevében is benne van a lényege: a „paralel” szó azt jelenti, hogy „párhuzamos”.
Definíció:
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.Úgy is mondhatjuk, hogy
a paralelogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja.
Melyek a paralelogramma tulajdonságai?
A legfontosabb: a paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek (a párhuzamos oldalak ugyanakkorák) + a szemközti szögei is egyenlőek (ezek a szögek egyébként váltószögek az oldalak párhuzamossága miatt).
Mivel minden négyszögre igaz, hogy a belső szögeinek összege 360°, így ezt most is felírhatjuk:
2∙(α+β) = 360°. Amiből az következik, hogy α + β = 180° , vagyis a paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180°.
Nézzünk egy feladatot, amiben ezt kell használni!
1. Feladat: Ha a paralelogramma egyik szöge 110°-os, mekkora a többi szöge?
Megoldás: Használjuk az előző összefüggést: α + β = 180°. Ebbe behelyettesítjük az adott szöget:
110°+ β = 180° , amiből már könnyen látod, hogy β = 70°.
Tehát a paralelogramma négy szöge 110°, 70°, 110°, 70°.
Paralelogramma a modern építészetben
A paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög,- ebből következik, hogy átlói felezik egymást. Viszont ügyelj rá, hogy az általános paralelogramma NEM tengelyesen szimmetrikus (csak azok a paralelogrammák, amik egyben rombuszok vagy téglalapok is).
Hogyan számítható ki a paralelogramma kerülete?
Sokszögek kerületét mindig úgy számoljuk ki, hogy összeadjuk az oldalaik hosszúságát.
Paralelogramma esetén is össze kell csak adni a négy oldalának a hosszát. Mivel 2-2 szemközti oldala egyenlő hosszú, a kerületre a következőt kapjuk:
K= a + b + a + b = 2a + 2b = 2 ∙ ( a + b )
Hogyan számítható ki a paralelogramma területe?
A paralelogramma területének kiszámolásához nem elég az oldalait ismernünk, szükség van a paralelogramma magasságára is. Adott oldalhoz tartozó magasság mindig merőleges az adott oldalra, nagysága pedig a két párhuzamos oldalegyenes távolsága. Ez látszik a következő ábrán:
Azt is mutatja az ábra, hogy kétféle magassága van a paralelogrammának: az a oldalhoz tartozó magasságot ma-val, a b oldalhoz tartozó magasságot mb-vel szokás jelölni. A paralelogramma területét a következőképpen számíthatjuk ki:
T= a ∙ ma = b ∙ mb
Ebből az is látszik, hogy elég az egyik oldalt és a hozzá tartozó magasságot ismerni ahhoz, hogy kiszámítsuk a paralelogramma területét.
Hogyan szerkesszük meg a paralelogrammát?
A paralelogrammát az átlói háromszögekre bontják. Emiatt a paralelogramma szerkesztése visszavezethető háromszög szerkesztésére.
Szerkesztéses feladatokban tehát keresd meg, hogy melyik háromszöget tudod megszerkeszteni az adatokból. Mutatunk erre is egy példát!
2. Feladat: Szerkeszd meg azt a paralelogrammát, amelynek egyik oldala 5 cm, a másik oldala 7 cm, az egyik átlója 10 cm!
Megoldás: A vázlatból jól látszik, hogy ABC háromszög mindhárom oldalát ismerjük, így azt meg lehet szerkeszteni.
Ha kész az ABC háromszög, akkor a D csúcsot megkaphatjuk pl. úgy, ha B csúcsot tükrözzük az AC oldal felezőpontjára. A tükörkép lesz a paralelogramma D csúcsa.
A paralelogrammák szerkesztéséről és tulajdonságairól mindent megtanulhatsz ebből az interaktív videóból.
Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok
380 ingyenes tananyag!
Az euklideszi szerkesztésekről találsz ebben a tankönyvben kiegészítő infókat.
Milyen speciális paralelogrammák vannak?
Minden téglalap és négyzet paralelogramma is egyben. Hiszen igaz rájuk, hogy a szemközti oldalaik párhuzamosak. A téglalap és a négyzet tehát speciális paralelogrammák.
A rombuszt olyan, mint egy „nyomott” négyzet. Tehát az oldalai egyenlőek, de nem feltétlenül merőlegesek egymásra. Így a rombusz is speciális paralelogramma.
Ez azt jelenti, hogy a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok halmaza részhalmaza a paralelogrammák halmazának. Ezt halmazábrán így tudjuk szemléltetni:
Milyen paralelogrammához kapcsolódó feladatok vannak?
Láttunk már példát paralelogramma szerkesztéséhez kapcsolódó feladatra és számoltunk hiányzó szögeket. Paralelogrammák kerületének és területének kiszámítása is az egyszerűbb feladatok közé tartozik.
A paralelogramma kerületéhez kapcsolódó feladatok:
A kerületképletben, ami K = 2 ∙ ( a + b ), három adat szerepel: K, a, b. Bármelyik kettő ismeretében könnyen kiszámítható a hiányzó, harmadik adat. Mutatunk erre egy példát.
3. Feladat: Egy paralelogramma egyik oldala 8 cm, kerülete 20 cm. Mekkora a másik oldala?
Megoldás: a = 8 cm, K = 20 cm, b = ?
A kerületképletből indulunk ki : K = 2 ∙ ( a + b )
be kell helyettesíteni az adatokat: 20 cm = 2 ∙ ( 8 cm + b )
ebből azt kapjuk, hogy 10 cm = 8 cm + b, és ebből már látszik, hogy b = 2 cm.
A paralelogramma területével kapcsolatos feladattípusok
A legegyszerűbb feladattípusoknál a területképletben szereplő három adat közül (T, a, ma) kettő ismert és a harmadik a kérdés. ( Emlékeztetőül: T = a ∙ ma )
4. Feladat: Egy paralelogramma egyik oldala 7 cm hosszú, területe 21 cm2. Mekkora a paralelogramma 7 cm-es oldalához tartozó magassága?
Megoldás: a = 7 cm, T = 21 cm2, ma = ?
Ilyenkor a területképletből indulunk ki, behelyettesítjük az adatokat:
T = a ∙ ma
21 cm2 = 7 cm ∙ ma ; ebből kiszámolható a kérdéses magasság:
ma = 3 cm ; tehát a paralelogramma 7 cm-es oldalához tartozó magassága 3 cm hosszú.
Egy másik típusfeladat, mikor egy paralelogramma mindkét oldala és az egyikhez tartozó magassága adott, és a másik oldalhoz tartozó magassága a kérdés.
5. Feladat: Egy paralelogramma oldalai 6 cm és 5 cm hosszúak. Az 5 cm-es oldalhoz tartozó magassága 4 cm. Mekkora a paralelogramma másik magassága?
Megoldás: a = 8 cm, b = 5 cm, mb = 6 cm, ma = ?
Most is a területképletből indulunk ki. Kétféleképpen is kiszámolhatjuk a területet, és azt használjuk ki, hogy ezzel a két képlettel ugyanazt az eredményt kell kapnunk:
T = a ∙ ma = b ∙ mb - ebbe helyettesítjük az adatokat:
8 cm ∙ ma = 5 cm ∙ 6 cm
8 cm ∙ ma = 30cm2 ; ebből könnyen kiszámolható a kérdéses magasság:
ma = 3,75 cm (= 30:8)
Tehát a paralelogramma 8 cm-es oldalához tartozó magassága 3,75 cm hosszú.
Ez a feladat azért trükkösebb, mint az előző, mert a szövegében szó sem volt a paralelogramma területéről, mégis a területképlet volt a megoldás kulcsa.
Paralelogrammához kapcsolódó feladatok szögfüggvényekkel
Ha tanultál már a szögfüggvényekről (szinusz, koszinusz…), akkor a paralelogramma szögeiből is ki tudsz számolni adatokat.
Pl. a paralelogramma területe kiszámolható két oldalának és a közbezárt szögnek az ismeretében is: T = a ∙ b ∙ sinα
Gyakran használjuk feladatokban, hogy ma = b ∙ sinα , illetve mb = a ∙ sinα
Mutatunk egy példát erre:
6. Feladat: Egy paralelogramma egyik oldala 10 cm, ehhez tartozó magassága 5 cm. Az egyik szöge 40°-os. Mekkora a kerülete?
Megoldás: a = 10 cm, ma = 5 cm, α = 40°
Az ATD derékszögű háromszögben ismerünk egy befogót és a vele szemközti szöget, így szinusz szögfüggvénnyel könnyen megkaphatjuk az átfogóját, ami a b oldal:
sinα = ma / b
sin 40° = 5 cm / b
b = 7,78 cm
Ezután már tudjuk használni a kerületképletet:
K = 2 ∙ ( a + b ) = 2 ∙ ( 10 cm + 7,78 cm ) = 35,56 cm, tehát a paralelogramma kerülete 35,56 cm.
A szögfüggvények alkalmazását, sík- illetve térgeomatriai feladatok megoldásában ezekből az interaktív videókból tudod gyorsan elsajátítani.
Matek- és fizikatanár
Miben lesz más a 2024-es matematika érettségi? Változtak idén az érettségi követelmények matematikából is. Összegyűjtöttük a 2024-es matematika érettségi újdonságait. Box-plot-diagram, várható érték, gyűjtőjáradék-számítás,...
Matematika Érettségi 2024 -Újdonságok
2024. április 22.