Szinusztétel bizonyítása

Szinusztétel | Szinusztétel bizonyítása | További bizonyítások

A NAT2020 középszintű matematika érettségi követelményei között szerepel, hogy "Bizonyítsa a szinusztételt". Ebben a cikkben lépésről-lépésre megvizsgáljuk hogyan kell bizonyítani a szinusztételt.

A szinusztétel bizonyítása az egyik legkönnyebb bizonyítás a matematikában. Lejjebb elolvashatod ennek a lépéseit. Ha szeretnéd meghallgatni a még részletesebb magyarázatot, akkor ezt a Matek Oázis tananyagot neked készítettük:

Kattints a lejátszáshoz!

Próbáld ki elfektetve a telefont.

0

0:00

Feliratkozom

Szinusztétel

A szinusztétel állítása:

Tetszőleges háromszögben az oldalak aránya egyenlő a velük szemközti szögek szinuszának arányával.

Képlettel felírva:

​​​​​​​

Feladatokban a szinusztételt akkor szoktuk használni, ha egy háromszögnek ismerjük két oldalát, és az egyikkel szemben lévő szöget. Vagy abban az esetben is ezt használjuk, ha két szögét ismerjük, és az egyikkel szemközti oldalt. 

A függvénytáblában a tételt olyan formában találod meg, hogy a háromszög mindhárom oldala és mindhárom szöge szerepel benne:

A tétel két alakja ugyanazt az összefüggést fejezi ki. Az első alakból úgy kapjuk a másodikat, hogy az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk b-vel, és osztjuk sin𝛼-val.

Szinusztétel bizonyítása

Középiskolában megtanultuk, hogy háromszögek területét úgy is ki tudjuk számolni, ha ismerjük két oldalának hosszát és a két oldal által közrezárt szög szinuszát. Ekkor a képlet:

Ezek a háromszög trigonometrikus területképletei.

A bizonyításhoz emeljük ki a második és a harmadik képletet:

Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk 2-vel, így nem lesz tört:

Az egyenlet mindkét oldalán van egy c szorzótényező. Ezzel le tudunk egyszerűsíteni:

Most mindkét oldalt osztjuk sin𝛽-val és szintén mindkét oldalt osztjuk b-vel:

Ezzel meg is kaptuk a szinusztételt olyan alakban, ahogy először felírtuk. Ezzel kész a bizonyítás.

Természetesen a tételt bármelyik két oldalra fel lehet írni. A bizonyítás lépései ugyanezek lesznek akkor is.

Lényegében a háromszög trigonometrikus területképleteit kell csak ekvivalens lépésekkel alakítani.

Még néhány középszintű bizonyítás

Pitagorasz-tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
Pitagorasz-tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Thálesz-tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
​​​​​​​Thálesz-tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk​​

Oldalfelezők merőlegesek metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
​​Oldalfelezők merőlegesek metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
​​​​​​​Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár