A Pitagorasz-tétel egyszerűen + Kalkulátor

A Pitagorasz-tétel egy nagyon fontos tétel a derékszögű háromszögekről. Már az ókorban is ismerték, Pitagorasz előtt is. Földterületek kijelölésére használták: a derékszögeket tudták így nagyon pontosan kijelölni.

Mi a Pitagorasz-tétel?

A Pitagorasz-tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű háromszög oldalai között van egy fontos összefüggés: a leghosszabb oldalának a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével.

Azaz: a² + b² = c².

Hogyan bizonyítjuk a Pitagorasz-tételt?

A bizonyítására többféle módszer is van. A legszemléletesebb talán az, ahol egy a + b oldalú négyzetet felosztunk kétféleképpen.

Az első esetben a, b befogójú kis háromszögeket rakunk a nagy négyzet oldalaira, így középen marad egy négyszög. Erről a négyszögről belátható, hogy négyzet: az oldala c hosszúságú (hiszen a derékszögű háromszög leghosszabb oldala), és a szögei is derékszögek. A szögek derékszög voltát úgy láthatjuk be, hogy a háromszög szögeinek összege 180°, és a 90°-os szögön kívüli két szög a négyszög mellett látszik, ezért a négyszög szöge csak derékszög lehet.

A nagy négyzetben tehát egy c oldalú négyzet van belül, mellette pedig 4 db a, b befogójú derékszögű háromszög.

Nézzük most a másik nagy négyzetet! Ott úgy helyeztük el a kis derékszögű háromszögeket, hogy mellette két kisebb négyzet maradt. Ránézésre is látható, hogy az egyik a oldalú négyzet, a másik pedig b oldalú négyzet.

Ha most a két nagy négyzetet összehasonlítjuk, akkor azt látjuk, hogy ugyanakkora területen az egyikben a négy kis háromszög mellett egy c² terület van, a másikban pedig egy a² és egy b² terület. Tehát c² = a² + b².

Mi a Pitagorasz-tétel megfordítása?

Megfordítva az előző tételt, így hangzik: ha egy háromszög oldalaira igaz, hogy a² + b² = c², akkor az a háromszög derékszögű.

A megfordítást felhasználhatjuk arra, hogy eldöntsük, derékszögű-e egy háromszög: ha a leghosszabb oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, akkor derékszögű. Ha nem teljesül, akkor nem derékszögű.

Sőt ennél többet is lehet állítani: ha a leghosszabb oldal négyzete nagyobb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor a háromszög tompaszögű, ha kisebb, akkor hegyesszögű.

Hogyan alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt?

A tételt leginkább derékszögű háromszögek hiányzó oldalának kiszámítására alkalmazzuk. Célszerű mindig megkeresni a háromszög leghosszabb oldalát (az átfogót). Ha arra írjuk fel a Pitagorasz-tételt, nem téveszthetjük el az összefüggést.

Ebben az esetben bármelyik oldal hiányzik, azt egyenletrendezéssel kiszámolhatjuk. Nézzünk néhány példát.

Az első esetben a két befogót ismerjük. Az átfogó ezekből könnyen kiszámolható: a két ismert befogót négyzetre emeljük, összeadjuk, és az eredményből gyököt vonunk.

A második esetben az átfogót és az egyik befogót ismerjük. Az ismeretlen befogót úgy kapjuk meg, hogy az átfogó négyzetéből kivonjuk az ismert befogó négyzetét, majd a különbségből gyököt vonunk.

TAVASZI KIHÍVÁS

Gyűjts csillagokat és nyerj akár egy Apple iPad-et!

Vagy a többi menő nyeremény egyikét

BENEVEZEK »

Pitagorasz-tétel a gyakorlatban: pitagoraszi számhármasok

Az ókori indiai, kínai, babilóniai matematikusok is ismerték már évszázadokkal Püthagorasz előtt ezt az összefüggést, és a kínaiak kidolgoztak rá bizonyítást is.

Az egyiptomiak csomókkal 3, 4 és 5 részre osztott kötelet használtak a derékszög előállítására. Ehhez összesen 13 darab egyforma távolságban kötött csomóra volt szükségük. Így egy olyan derékszögű háromszög jött létre, amelynek oldalai megfelelnek a Pitagorasz-tételnek, hiszen 3² + 4² = 5². Ez a 3; 4; 5 számhármas egy pitagoraszi számhármas.

A pitagoraszi számhármasok

A pitagoraszi számhármasok három olyan pozitív egész számból állnak, amelyekre teljesül a Pitagorasz-tétel, vagyis a két kisebb szám négyzetének összege egyenlő a legnagyobb szám négyzetével.

Ilyen például a 3, 4, 5, vagy az 5, 12, 13. Természetesen egy ilyen számhármas pozitív egész számú többszöröse is pitagoraszi számhármas, tehát a 6, 8, 10 is ilyen.

Végtelen sok pitagoraszi számhármas van, ezt Euklidesz bizonyította be először.

Ma is remekül lehet használni:

• minőségi asztalosmunkánál (derékszög ellenőrzése, fal dőlése),
• átlós elemek hosszának kiszámítására (pl. falikar, tetőgerendák),
• lejtők, emelkedők hosszúságának és magasságának kiszámítására,
• kábelek hosszának, illetve rögzítési távolságának meghatározására (rudak, tornyok esetén).

Tovább a Matek Oázis tananyagokhoz

Elolvasom

Háromszög területe – képlet

Tanuld meg egyszerűen kiszámolni a háromszög területét! Képletek és példák általános, derékszögű, szabályos, egyenlő szárú háromszögekre. Nézd meg most!