Henger térfogata és felszíne: képletek, feladatok

Henger definíció | Hengertípusok | Henger térfogat képlete | Henger felszín képlete | Henger térfogata: feladat megoldással | Henger felszíne: feladatok megoldással Henger a mindennapi életben 

A hengerrel már általános iskolában találkozunk. Felvételi feladatsorokban és érettségi feladatokban egyaránt megjelenik a henger felszíne és térfogata. Nézzük meg részletesen, mit kell tudni erről a testről!
Ebben a mini tananyagban összeszedtük az alapokat röviden.

Kattints a lejátszáshoz!

Próbáld ki elfektetve a telefont.

0

0:00

Feliratkozom

Mi az a henger?

Ha veszünk egy körlapot, és ezt a körlapot önmagával párhuzamosan eltoljuk, akkor egy hengert kapunk.

A pontos matematikai definíció így szól: vegyünk egy síkidomot, és minden pontjába állítsunk egyenlő hosszúságú, egymással párhuzamos szakaszokat. A szakaszok végpontjai egy olyan síkidomot határoznak meg, amely egybevágó az eredeti síkidommal. 

Az egybevágó síkidomokat a henger alapjainak nevezzük. (A henger alapja tehát nem csak kör lehet.)

A szakaszok neve alkotó.

A henger palástja az alkotók által meghatározott felület.

Az alapok és alkotók által meghatározott felületet nevezzük hengernek.

A Henger I. című Matek Oázis interaktív tananyagban minden fontos dolgot megtanulhatsz a hengerről.

Milyen típusú hengerek léteznek? Hogyan származtatjuk a hengert?

A hengereket tudjuk csoportosítani aszerint, hogy az alapjuk milyen síkidom.

Amikor hengerről beszélünk, akkor szinte mindig a körhengerre gondolunk, aminek az alapja kör.

Ha a henger alapja egy sokszög, akkor hasábnak hívjuk.

Sokszög alapú egyenes hasábok

A hengereket aszerint is tudjuk csoportosítani, hogy egyenesek-e vagy ferdék.

Azt a hengert nevezzük egyenes hengernek, amelynek alkotói merőlegesek az alapra.

Ha az alkotók nem merőlegesek az alapokra, akkor ferde hengerről beszélünk.

Henger térfogata: hogyan számoljuk ki?

A henger térfogatát úgy számoljuk, hogy az alapterületét megszorozzuk a magasságával:

Körhenger esetén az alap kör, ezért: 

Ezekben a képletekben a magasság a két alap síkjának távolságát jelenti. Ez egyenes körhenger esetén megegyezik az alkotó hosszával. Ferde henger esetén kicsit körülményesebb a magasság meghatározása.

Gyakorolj interaktív feladatokkal a Henger II. című Matek Oázis tananyaggal.

Henger felszíne: hogyan kell kiszámolni?

A henger felszínéhez ismernünk kell az alapjának és a palástjának a területét.

Körhenger esetén az alap kör. A palást pedig egy olyan téglalap, aminek az egyik oldala az alapkör kerülete, a másik oldala pedig az alkotó (a) hossza. Így a felszín képlet:

Henger térfogatszámítás: feladat megoldással

1. feladat: Mekkora a térfogata annak az egyenes körhengernek, amely alapkörének sugara 10 cm, alkotója 20 cm?

Megoldás: Az alap egy kör, ennek a területe: 

Mivel egyenes körhengerről van szó, ezért az alkotó megegyezik a magassággal, azaz , így:

Henger felszínszámítás: feladatok megoldással

2. feladat: Egy körhenger alapkörének átmérője 14 cm, magassága 25 cm. Mekkora a henger felszíne?

Megoldás: Kiszámoljuk az alapkör területét, ehhez vesszük az átmérő felét, a sugarat: , így a terület: 

A palást egy téglalap, aminek az egyik oldala a magasság, ami 25 cm, a másik pedig az alapkör kerülete. Kiszámoljuk ezt a kerületet: 

Így a palást területe: 

Tudunk minden adatot, behelyettesítünk a képletbe: 

3. feladat: Mennyi annak a hengernek a felszíne, aminek a palástja egy olyan téglalap, aminek az egyik oldala 25,12 cm, a másik pedig 17 cm?

Megoldás: A feladatnak 2 megoldása van. Tudjuk, hogy a palást egyik oldala az alapkör kerülete, a másik pedig a henger magassága.

Az első megoldásban legyen az alapkör kerülete 25,12 cm, a henger magassága pedig 17 cm.

Az alapkör kerületéből ki tudjuk számolni a sugarat, hiszen  → 

Ismerjük a sugarat, ki tudjuk számolni az alapterületet: 

A palást egy téglalap, ennek a területe a két oldalának szorzata: 

Így már minden adatot ismerünk, be tudunk helyettesíteni a képletbe: 

A másik megoldásban az alapkör kerülete a 17 cm a henger magassága pedig 25,12 cm.

Ugyanúgy meghatározzuk az alapkör sugarát ebben az esetben is:  → 

Ekkor az alapterület: 

A palást területe ugyanannyi, mint az első megoldásban, így a felszín: 

Henger térfogatának számítása a gyakorlatban: mikor jön jól, ha tudjuk hogyan kell?

A hétköznapi életünkben körül vesznek minket a henger alakú tárgyak. Otthonunkban találhatunk henger alakú vázát, poharat, mérőedényt, befőttesüveget. Ha csak egy vonalzónk van, akkor is ki tudjuk számolni, hogy mennyi a pohár vagy üveg térfogata, és tudjuk, hogy mennyi folyadék fér bele.

A legtöbb konzervdoboz is henger alakú. Ezenkívül a benzinszállító tartálya is egy hatalmas henger. Ha tudjuk ennek a tartálynak a paramétereit, akkor meg tudjuk határozni, hogy mennyi üzemanyag szállítható benne. Aszfaltozás során úthengerrel egyengetik a készülő utat.

Festés során a szakemberek eszköze a festőhenger.

A Henger felszíne, térfogata című Matek Oázis teszttel ellenőrizheted, hogy mindent tudsz-e a hengerekről.

Elolvasom

Matematika Érettségi 2024 -Újdonságok

2024. április 22.

Miben lesz más a 2024-es matematika érettségi? Változtak idén az érettségi követelmények matematikából is. Összegyűjtöttük a 2024-es matematika érettségi újdonságait. Box-plot-diagram, várható érték, gyűjtőjáradék-számítás,...