Henger definíció | HengertípusokHenger térfogat képlete | Henger felszín képlete | Henger térfogata: feladat megoldással | Henger felszíne: feladatok megoldással Henger a mindennapi életben 

A hengerrel már általános iskolában találkozunk. Felvételi feladatsorokban és érettségi feladatokban egyaránt megjelenik a henger felszíne és térfogata. Nézzük meg részletesen, mit kell tudni erről a testről!
Ebben a mini tananyagban összeszedtük az alapokat röviden.
Betöltés
logo1
logo2
logo3

0:00

Mi az a henger?

Ha veszünk egy körlapot, és ezt a körlapot önmagával párhuzamosan eltoljuk, akkor egy hengert kapunk.

A pontos matematikai definíció így szól: vegyünk egy síkidomot, és minden pontjába állítsunk egyenlő hosszúságú, egymással párhuzamos szakaszokat. A szakaszok végpontjai egy olyan síkidomot határoznak meg, amely egybevágó az eredeti síkidommal. 

Az egybevágó síkidomokat a henger alapjainak nevezzük. (A henger alapja tehát nem csak kör lehet.)

A szakaszok neve alkotó.

henger palástja az alkotók által meghatározott felület.

Az alapok és alkotók által meghatározott felületet nevezzük hengernek.

Henger felszíne

A Henger I. című Matek Oázis interaktív tananyagban minden fontos dolgot megtanulhatsz a hengerről.

Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok

380 ingyenes tananyag!

 

Milyen típusú hengerek léteznek? Hogyan származtatjuk a hengert?

A hengereket tudjuk csoportosítani aszerint, hogy az alapjuk milyen síkidom.

Amikor hengerről beszélünk, akkor szinte mindig a körhengerre gondolunk, aminek az alapja kör.

Ha a henger alapja egy sokszög, akkor hasábnak hívjuk.

Egyenes hasábok
Sokszög alapú egyenes hasábok

A hengereket aszerint is tudjuk csoportosítani, hogy egyenesek-e vagy ferdék.

Azt a hengert nevezzük egyenes hengernek, amelynek alkotói merőlegesek az alapra.

Ha az alkotók nem merőlegesek az alapokra, akkor ferde hengerről beszélünk.

Egyenes henger, ferde henger

Henger térfogata: hogyan számoljuk ki?

A henger térfogatát úgy számoljuk, hogy az alapterületét megszorozzuk a magasságával:

straight V subscript henger equals straight T subscript straight a times straight m

Körhenger esetén az alap kör, ezért: straight V subscript körhenger equals straight T subscript straight a times straight m equals straight r squared times straight pi times straight m

Ezekben a képletekben a magasság a két alap síkjának távolságát jelenti. Ez egyenes körhenger esetén megegyezik az alkotó hosszával. Ferde henger esetén kicsit körülményesebb a magasság meghatározása.

Gyakorolj interaktív feladatokkal a Henger II. című Matek Oázis tananyaggal.

Henger felszíne: hogyan kell kiszámolni?

A henger felszínéhez ismernünk kell az alapjának és a palástjának a területét.

straight A subscript henger equals 2 times straight T subscript alap plus straight T subscript palást

Körhenger esetén az alap kör. A palást pedig egy olyan téglalap, aminek az egyik oldala az alapkör kerülete, a másik oldala pedig az alkotó (a) hossza. Így a felszín képlet:

straight A subscript körhenger equals 2 times straight T subscript alap plus straight T subscript palást equals 2 times straight r squared times straight pi plus 2 times straight r times straight pi times straight a

Henger térfogatszámítás: feladat megoldással

1. feladat: Mekkora a térfogata annak az egyenes körhengernek, amely alapkörének sugara 10 cm, alkotója 20 cm?

Megoldás: Az alap egy kör, ennek a területe: straight T subscript straight a equals straight r squared times straight pi equals 10 squared times straight pi equals 100 times 3 comma 14 equals 314 space cm squared

Mivel egyenes körhengerről van szó, ezért az alkotó megegyezik a magassággal, azaz straight m equals 20 space cm, így:

straight V subscript körhenger equals straight T subscript straight a times straight m equals 314 times 20 equals 6280 space cm cubed

Henger felszínszámítás: feladatok megoldással

2. feladat: Egy körhenger alapkörének átmérője 14 cm, magassága 25 cm. Mekkora a henger felszíne?

Megoldás: Kiszámoljuk az alapkör területét, ehhez vesszük az átmérő felét, a sugarat: r equals 7 space c m, így a terület: straight T subscript alap equals straight r squared times straight pi equals 7 squared times 3 comma 14 equals 153 comma 86 space cm squared

A palást egy téglalap, aminek az egyik oldala a magasság, ami 25 cm, a másik pedig az alapkör kerülete. Kiszámoljuk ezt a kerületet: straight K subscript alap equals 2 times straight r times straight pi equals 2 times 7 times 3 comma 14 equals 43 comma 96 space cm

Így a palást területe: straight T subscript palást equals straight m times straight K subscript alap equals 25 times 43 comma 96 equals 1099 space cm squared

Tudunk minden adatot, behelyettesítünk a képletbe: straight A subscript henger equals 2 times straight T subscript alap plus straight T subscript palást equals 2 times 153 comma 86 plus 1099 equals 1406 comma 72 space cm squared

3. feladat: Mennyi annak a hengernek a felszíne, aminek a palástja egy olyan téglalap, aminek az egyik oldala 25,12 cm, a másik pedig 17 cm?

Megoldás: A feladatnak 2 megoldása van. Tudjuk, hogy a palást egyik oldala az alapkör kerülete, a másik pedig a henger magassága.

Az első megoldásban legyen az alapkör kerülete 25,12 cm, a henger magassága pedig 17 cm.

Az alapkör kerületéből ki tudjuk számolni a sugarat, hiszen straight K subscript alap equals 2 times straight r times straight pi → straight r equals fraction numerator straight K subscript alap over denominator 2 times straight pi end fraction equals fraction numerator 25 comma 12 over denominator 2 times 3 comma 14 end fraction equals 4 space cm

Ismerjük a sugarat, ki tudjuk számolni az alapterületet: straight T subscript straight a equals straight r squared times straight pi equals 4 squared times 3 comma 14 equals 50 comma 24 space cm squared

A palást egy téglalap, ennek a területe a két oldalának szorzata: straight T subscript palást equals 25 comma 12 times 17 equals 427 comma 04 space cm squared

Így már minden adatot ismerünk, be tudunk helyettesíteni a képletbe: straight A subscript henger equals 2 times straight T subscript alap plus straight T subscript palást equals 2 times 50 comma 24 plus 427 comma 04 equals 527 comma 52 space cm squared

A másik megoldásban az alapkör kerülete a 17 cm a henger magassága pedig 25,12 cm.

Ugyanúgy meghatározzuk az alapkör sugarát ebben az esetben is: straight K subscript alap equals 2 times straight r times straight pi → straight r equals fraction numerator straight K subscript alap over denominator 2 times straight pi end fraction equals fraction numerator 17 over denominator 2 times 3 comma 14 end fraction equals 2 comma 71 space cm

Ekkor az alapterület: straight T subscript straight a equals straight r squared times straight pi equals 2 comma 71 squared times 3 comma 14 equals 23 comma 06 space cm squared

A palást területe ugyanannyi, mint az első megoldásban, így a felszín: straight A subscript henger equals 2 times straight T subscript alap plus straight T subscript palást equals 2 times 23 comma 06 plus 427 comma 04 equals 473 comma 16 space cm squared

Henger térfogatának számítása a gyakorlatban: mikor jön jól, ha tudjuk hogyan kell?

A hétköznapi életünkben körül vesznek minket a henger alakú tárgyak. Otthonunkban találhatunk henger alakú vázát, poharat, mérőedényt, befőttesüveget. Ha csak egy vonalzónk van, akkor is ki tudjuk számolni, hogy mennyi a pohár vagy üveg térfogata, és tudjuk, hogy mennyi folyadék fér bele.

A legtöbb konzervdoboz is henger alakú. Ezenkívül a benzinszállító tartálya is egy hatalmas henger. Ha tudjuk ennek a tartálynak a paramétereit, akkor meg tudjuk határozni, hogy mennyi üzemanyag szállítható benne. Aszfaltozás során úthengerrel egyengetik a készülő utat.

Festés során a szakemberek eszköze a festőhenger.

A Henger felszíne, térfogata című Matek Oázis teszttel ellenőrizheted, hogy mindent tudsz-e a hengerekről.

Dancsó Imre
Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár

Elolvasom Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

2024. május 27.

Mi az egészrész fogalma? Mi a törtrész fogalma? Mit kell tudni az egészrész függvényről? Mit kell tudni a törtrész függvényről?

Függvények ábrázolása
2024. május 27.

Szinusztétel bizonyítása
2024. február 21.
Thálesz-tétel bizonyítása
2024. február 21.
Végtelen tizedes törtek
2022. október 28.