Másodfokú egyenlet: megoldóképlete, feladatok

A középiskolai matek egyik fontos tananyaga a másodfokú egyenletek megoldása, amit ugyanolyan jól kell tudni, mint elsőfokú egyenleteket megoldani.

Szinte minden témakörben vannak másodfokú egyenletre vezető feladatok. Érettségizőknek is elengedhetetlen, hogy jól tudjanak bánni ezekkel . Összegyűjtöttük, mit kell tudni róla.

Kalkulátor

Ha csak a megoldásra vagy kíváncsi, itt kiszámolhatod.

Add meg a nullára redukált alakját a másodfokú egyenletnek:

x² + x + = 0

Mi a másodfokú egyenlet?

A másodfokú egyenlet egy olyan egyenlet, amiben az ismeretlen (általában x) második hatványon szerepel.
Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja: $a times x squared plus b times x plus c equals 0$ ahol $a comma b comma c element of straight real numbers$ és $a not equal to 0$ .

A másodfokú egyenletnek 2, 1 vagy 0 megoldása van.

Gyakorolj a Másodfokú egyenletek című Matek Oázis tananyaggal, tudj meg mindent a témáról.

Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok

380 ingyenes tananyag!

Kérem az ingyenes tananyagokat

Mi a másodfokú egyenlet megoldóképlete?

A másodfokú egyenlet megoldóképlete egy olyan összefüggés, amibe behelyettesítve az a, b, c együtthatókat megkapjuk az egyenlet megoldásait (x₁-et és x₂-t).

A másodfokú egyenlet megoldóképlete: $x subscript 1 semicolon 2 end subscript equals fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 times a times c end root over denominator 2 times a end fraction$

A megoldó képletben a $plus-or-minus$ jel azt jelenti, hogy az egyik megoldás megtalálásához elvégezzük az összeadást. A másik megoldáshoz a kivonás elvégzésével jutunk.

Hogyan kell levezetni a másodfokú egyenlet megoldóképletét?

Az egyenlet általános alakjából indulunk ki:

$a times x squared plus b times x plus c equals 0$ Első lépésben mindkét oldalt osszuk el a-val.

$x squared plus b over a times x plus c over a equals 0$ A baloldalon szeretnénk teljes négyzetet kapni, ezért az elsőfokú tag együtthatóját felezzük, és a négyzetét $open parentheses fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared$ hozzáadjuk és el is vesszük a baloldalból. Ezzel a baloldal értéke nem változik

$x squared plus b over a times x plus open parentheses fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared minus open parentheses fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared plus c over a equals 0$ Így az első három tag egy teljes négyzet, azaz elvégezhető a szorzattá alakítás.

$open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared minus b squared over open parentheses 2 a close parentheses squared plus c over a equals 0$ A baloldalon elvégezzük a zárójelen kívüli tagok összevonását.

$open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared minus fraction numerator b squared minus 4 times a times c over denominator 4 a squared end fraction equals 0$ A két kifejezést külön oldalra rendezzük.

$open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared equals fraction numerator b squared minus 4 times a times c over denominator 4 a squared end fraction$ Mindkét oldalból gyököt vonunk. (mivel a négyzetgyök eredménye mindig pozitív, kell a $plus-or-minus$ )

$x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction equals plus-or-minus square root of fraction numerator b squared minus 4 times a times c over denominator 4 a squared end fraction end root equals fraction numerator plus-or-minus square root of b squared minus 4 times a times c end root over denominator 2 a end fraction$ Hogy a bal oldalon csak x maradjon, elveszünk $fraction numerator b over denominator 2 a end fraction$ -t .

$x subscript 1 semicolon 2 end subscript equals fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 times a times c end root over denominator 2 times a end fraction$

A valós számok halmazán az egyenlet két megoldása x₁ és x₂.

A másodfokú egyenlet általános alakján kívül létezik még az úgynevezett gyöktényezős alak. Ez így írható fel: $a times left parenthesis x minus x subscript 1 right parenthesis times left parenthesis x minus x subscript 2 right parenthesis equals 0$ . Ebben a kifejezésben (x - x₁) és (x - x₂) neve gyöktényező.

Mi a másodfokú egyenlet diszkriminánsa?

A diszkrimináns a megoldóképletben a gyökjel alatt álló kifejezés. Jele: D.

$D equals b squared minus 4 times a times c$

A másodfokú egyenlet megoldásainak a száma a diszkrimináns értékétől függ.

Az egyenletnek két valós gyöke (megoldása) van, ha D > 0.

Az egyenletnek egy valós gyöke van, ha a D = 0.

Az egyenletnek nincs valós megoldása, ha D < 0.

Hogyan oldjunk meg egy másodfokú egyenletet?

1. Lépés: Nullára redukálás

A nullára redukálás azt jelenti, hogy a feladatban kapott egyenletet átírjuk az általános (a·x²+ b·x + c = 0) alakra. Azaz az egyenlet egyik oldalán csak 0 szerepeljen, a másik oldalon pedig legyen egy x²-es tag, egy x-es tag és egy konstans.

Például: x² + 8 = 6x + 3 → x² - 6x + 5 =0

2. Lépés: Együtthatók behelyettesítése a megoldóképletbe

Ha elvégeztük már a nullára redukálást, akkor ezt a lépést is gyorsan el tudjuk végezni, hiszen ismerjük a, b, és c együtthatókat.

Például: x² - 6x + 5 = 0 → $x subscript 1 semicolon 2 end subscript equals fraction numerator negative left parenthesis negative 6 right parenthesis plus-or-minus square root of left parenthesis negative 6 right parenthesis squared minus 4 times 1 times 5 end root over denominator 2 times 1 end fraction equals fraction numerator 6 plus-or-minus square root of 36 minus 4 times 1 times 5 end root over denominator 2 end fraction$

H3 3. Lépés: Számoljuk ki a megoldásokat + ellenőrzés

A megoldóképletbe való behelyettesítés után kiszámoljuk a gyököket és ellenőrzünk.

Például: $fraction numerator 6 plus-or-minus square root of 36 minus 4 times 1 times 5 end root over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 6 plus-or-minus square root of 16 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 6 plus-or-minus 4 over denominator 2 end fraction$ → $x subscript 1 equals fraction numerator 6 plus 4 over denominator 2 end fraction equals 5$ és $x subscript 2 equals fraction numerator 6 minus 4 over denominator 2 end fraction equals 1$

Az ellenőrzést mindig az eredeti egyenletbe való visszahelyettesítéssel végezzük!

Másodfokú egyenletek gyakorlása című Matek Oázis tananyagban interaktívan oldhatsz meg feladatokat velünk!

A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések a Viéte-formulák .

Feladatok: másodfokú egyenlet megoldása megoldóképlettel

1. feladat: Oldjuk meg az x² + 3x - 10 = 0 egyenletet!

Megoldás: Az első lépést már el is végezték nekünk, nullára van redukálva az egyenlet, azaz az egyik oldalon csak nulla áll.

Most be kell helyettesíteni az együtthatókat a megoldóképletbe. Az egyszerűség kedvéért kiírjuk külön az együtthatókat. a = 1 (ezzel van megszorozva az x²) b = 3 (ez az x-es tag együtthatója) és c = -10 (ez a konstans tag).

$x subscript 1 semicolon 2 end subscript equals fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 times a times c end root over denominator 2 times a end fraction equals fraction numerator negative 3 plus-or-minus square root of 3 squared minus 4 times 1 times left parenthesis negative 10 right parenthesis end root over denominator 2 times 1 end fraction equals fraction numerator negative 3 plus-or-minus square root of 49 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator negative 3 plus-or-minus 7 over denominator 2 end fraction$ → $x subscript 1 equals fraction numerator negative 3 plus 7 over denominator 2 end fraction equals 4 over 2 equals 2$ és $x subscript 2 equals fraction numerator negative 3 minus 7 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator negative 10 over denominator 2 end fraction equals negative 5$

Tehát az egyenlet két megoldása az x₁ = 2 és az x₂ = -5.

Elvégzünk egy gyors ellenőrzést, behelyettesítjük az egyenlet gyökeit az eredeti összefüggésbe:

2² + 3 · 2 -10 = 0 és (-5)² + 3· (-5) - 10 = 0 is teljesül, tehát mindkét megoldás helyes.

Nézd meg a Másodfokú egyenletek Matek Oázis tesztünket és ellenőrzid mennyit tanultál a másodfokú egyenlet megoldásáról.

2. feladat: Adjuk meg x lehetséges értékeit, ha (x - 3)² = 5x² - 2x + 10.

Megoldás: Bontsuk fel a zárójelet a baloldalon: x² - 6x + 9 = 5x² - 2x + 10. Egy oldalra rendezünk mindent, így a nullára redukált alak:

0 = 4x² + 4x + 1. Az együtthatók: a = 4 ; b = 4 ; c = 1. Behelyettesítünk a megoldóképletbe:

Tudjuk, hogy ha diszkrimináns egyenlő nullával, akkor az egyenletnek egy megoldása van: $x equals negative 4 over 8 equals negative 1 half equals negative 0 comma 5$ .

Végzünk egy gyors ellenőrzést, behelyettesítünk az eredeti (x - 3)² = 5x² - 2x + 10 egyenletbe.

$left parenthesis negative 0 comma 5 minus 3 right parenthesis squared equals 5 times left parenthesis negative 0 comma 5 right parenthesis squared minus 2 times left parenthesis negative 0 comma 5 right parenthesis plus 10 left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis squared equals 5 times 0 comma 25 plus 1 plus 10 12 comma 25 equals 12 comma 25$

Teljesül az egyenlőség, tehát helyes a megoldás.

3. feladat: Hány valós megoldása van a 3x² - 5x + 4 =0 másodfokú egyenletnek?

Megoldás: Meg kell vizsgálnunk a másodfokú egyenlet megoldóképletének a diszkriminánsát. Ebben az esetben a másodfokú tag együtthatója: a = 3, az első fokú tag együtthatója b = -5 és a konstans tag c = 4.

A diszkrimináns: $D equals b squared minus 4 times a times c equals left parenthesis negative 5 right parenthesis squared minus 4 times 3 times 4 equals 25 minus 48 equals negative 23$

Tehát D < 0. Negatív a diszkrimináns, nem lehet belőle négyzetgyököt vonni, így az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.

Még több kidolgoztott feladatot találsz ezen a linken.

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár