Mik azok a nevezetes azonosságok | Legfontosabb nevezetes azonosságok | Nevezetes azonosságok alkalmazása | Összeg négyzete | Különbség négyzete | Összeg és különbség szorzata

Algebra feladatok, egyenletek megoldásainál, függvények vizsgálatakor bonyolult számításokat kerülhetünk ki azzal, ha ismerjük a nevezetes azonosságokat.

Mik azok a nevezetes azonosságok?

Az azonosságok olyan egyenlőségek, amikbe az ismeretlenek helyére bármilyen számot írva egyenlőséget kapunk. Például: 3 · (4x - 7y) = 12x - 21y.

Van néhány kiemelt azonosság, amik leegyszerűsítik az átalakításokat és gyakan használjuk őket, ezeket nevezték el nevezetes azonosságoknak.

A Nevezetes azonosságok című Matek Oázis tananyaggal könnyen és gyorsan megtanulhatod és begyakorolhatod ezeket. (Kérd az ingyenes próbaidőszakot!)

Felvételi Nyílt Napok

Kerülj be könnyedén a választott gimibe! 

Segítünk felkészülni! 

 

November 27-ig

Melyek a legfontosabb nevezetes azonosságok?

Összeg négyzete: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Különbség négyzete: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Két tag összegének és különbségének szorzata: (a + b) · (a - b) = a2 - b2

Összeg köbe: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Különbség köbe: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Háromtagú összeg négyzete: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc

Mire lehet használni a nevezetes azonosságokat?

A nevezetes azonosságokat arra használjuk, hogy gyorsabban, hatékonyabban számoljunk. Alkalmazásakor nem kell egyesével minden részszámolást elvégezni, hanem egyből tudjuk az eredményt.

A dolgozatoknál, vizsgáknál, a sikeres érettségihez elengedhetetlen, hogy jól gazdálkodjunk az idővel.

A Nevezetes azonosságok című Matek Oázis játékkal te lehetsz az azonos átalakítások mestere.

Kérem az ingyenes próbaidőszakot!

Miért fontos az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosság?

Számtalan feladatban kell két tag összegét négyzetre emelni. Az azonosság használatával gyorsabban el tudod ezt végezni, mintha minden tagot minden taggal szoroznál.

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 → (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Két tag összege tehát 3 tagból áll: az első tag négyzete (a2), a két tag szorzatának kétszerese (2ab), és a második tag négyzete (b2). 

Feladat: 2009. októberi középszintű érettségi 13/a: Oldja meg a valósz számok halmazán a következő egyenletet: (x + 2)2 - 90 = 5 · ( 0,5x - 17).

Megoldás: Felbontjuk a zárójeleket: x2 + 4x + 4 - 90 = 2,5x - 85.

Nullára rendezünk: x2 + 1,5x - 1 = 0.

Megoldóképletbe való behelyettesítés után kapjuk, hogy x1 =  0,5 és x2 = -2.

Miért fontos az (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 azonosság?

Csakúgy, mint az összeg négyzeténél, ilyen átalakításra is rengeteg feladatban van szükség.

(a - b)2 = (a - b) · (a - b) = a2 - ab - ba + b2 → (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Két tag különbségének a négyzete 3 tagból áll: az első tag négyzete (a2), a két tag kétszeres szorzata (-2ab), és a második tag négyzete (b2). 

Feladat: 2017. májusi érettségi feladatsor 13/c. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: (x - 1)2 - 4 = -x - 1

Megoldás: Felbontjuk a zárójelet: x2 - 2x - 1 - 4 = -x -1.

Nullára redukálunk: x2 - x -4 = 0. Ezután behelyettesítünk a megoldóképletetbe és ellenőrzünk.

Még több kidolgozott feladatért kattints ide.

Mire lehet használni az a2 - b2 = (a + b) (a - b) azonosságot?

Szorzattá lehet így alakítani a két tag négyzetének  különbségét. Algebrai törtek egyszerűsítésekor, oszthatósági feladatokban, egyenletek megoldásakor jól jöhet.

Fordítva alkalmazva pedig villámgyorsan tudunk így összeszorozni speciális szorzatokat, ha felismerjük ezt az azonosságot.

Ha két szám összegét megszorozzuk ugyannak a két számnak a különbségével, akkor a két szám négyzetének a különbségét kapjuk.

(a + b) · (a - b) = a2 -ab + ba -b2 = a2 -ab + ba -b2 = a2 - b2 

Feladat: Végezzük el a következő műveletet: (4x + 3) · (4x - 3)

Megoldás: Használjuk a nevezetes azonosságot: (4x + 3) · (4x - 3) = (4x)2 - 32 = 16x2 - 9.

Feladat: Végezzük el a következő műveletet: (2y - 5) · (5 + 2y)

Megoldás: Mielőtt alkalmaznánk az azonosságot beiktatunk egy lépést: a második zárójelben felcseréljük a tagokat.

Mivel az összeadás kommutatív művelet: (2y - 5) · (5 + 2y) = (2y - 5) · (2y + 5) = 4y2 - 25.

Feladat: Egyszerűsítsük a következő törtet: fraction numerator left parenthesis 2 a plus b right parenthesis squared over denominator 4 a squared minus b squared end fraction

Megoldás: Szorzattá alakítjuk a nevezőben lévő kifejezést: fraction numerator left parenthesis 2 a plus b right parenthesis squared over denominator 4 a squared minus b squared end fraction equals fraction numerator left parenthesis 2 a plus b right parenthesis squared over denominator left parenthesis 2 a plus b right parenthesis times left parenthesis 2 a minus b right parenthesis end fraction

Tudunk egyszerűsíteni left parenthesis 2 a plus b right parenthesis-vel, így a végeredmény:fraction numerator 2 a plus b over denominator 2 a minus b end fraction

A nevezetes azonosságok témából emelt szintű érettségire felkészítő segítséget az Algebra című Matek Oázis tananyagban találsz.

Dancsó Imre
Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár

Elolvasom A tetraéder fogalma, térfogata, felszíne

A tetraéder fogalma, térfogata, felszíne

2022. november 25.

Mi a tetraéder fogalma? Hogy számoljuk ki a tetraéder felszínét, térfogatát?

Végtelen tizedes törtek
2022. október 28.