Nevezetes azonosságok: definíció, példák, feladatok megoldással

Mik azok a nevezetes azonosságok | Legfontosabb nevezetes azonosságok | Nevezetes azonosságok alkalmazása | Összeg négyzete | Különbség négyzete | Összeg és különbség szorzata

Algebra feladatok, egyenletek megoldásainál, függvények vizsgálatakor bonyolult számításokat kerülhetünk ki azzal, ha ismerjük a nevezetes azonosságokat.

Mik azok a nevezetes azonosságok?

Az azonosságok olyan egyenlőségek, amikbe az ismeretlenek helyére bármilyen számot írva egyenlőséget kapunk. Például: 3 · (4x - 7y) = 12x - 21y.

Van néhány kiemelt azonosság, amik leegyszerűsítik az átalakításokat és gyakan használjuk őket, ezeket nevezték el nevezetes azonosságoknak.

A Nevezetes azonosságok című Matek Oázis tananyaggal könnyen és gyorsan megtanulhatod és begyakorolhatod ezeket.

Melyek a legfontosabb nevezetes azonosságok?

Összeg négyzete: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Különbség négyzete: (a - b)² = a² - 2ab + b²

Két tag összegének és különbségének szorzata: (a + b) · (a - b) = a² - b²

Összeg köbe: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Különbség köbe: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Háromtagú összeg négyzete: (a + b + c)² = a² + b² + c² +2ab + 2ac + 2bc

Mire lehet használni a nevezetes azonosságokat?

A nevezetes azonosságokat arra használjuk, hogy gyorsabban, hatékonyabban számoljunk. Alkalmazásakor nem kell egyesével minden részszámolást elvégezni, hanem egyből tudjuk az eredményt.

A dolgozatoknál, vizsgáknál, a sikeres érettségihez elengedhetetlen, hogy jól gazdálkodjunk az idővel.

Miért fontos az (a + b)² = a² + 2ab + b² azonosság?

Számtalan feladatban kell két tag összegét négyzetre emelni. Az azonosság használatával gyorsabban el tudod ezt végezni, mintha minden tagot minden taggal szoroznál.

(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a² + ab + ba + b² → (a + b)² = a² + 2ab + b²

Két tag összege tehát 3 tagból áll: az első tag négyzete (a²), a két tag szorzatának kétszerese (2ab), és a második tag négyzete (b²). 

Feladat: 2009. októberi középszintű érettségi 13/a: Oldja meg a valósz számok halmazán a következő egyenletet: (x + 2)² - 90 = 5 · ( 0,5x - 17).

Megoldás: Felbontjuk a zárójeleket: x² + 4x + 4 - 90 = 2,5x - 85.

Nullára rendezünk: x² + 1,5x - 1 = 0.

Megoldóképletbe való behelyettesítés után kapjuk, hogy x₁ =  0,5 és x₂ = -2.

Miért fontos az (a - b)² = a² - 2ab + b² azonosság?

Csakúgy, mint az összeg négyzeténél, ilyen átalakításra is rengeteg feladatban van szükség.

(a - b)² = (a - b) · (a - b) = a² - ab - ba + b² → (a - b)² = a² - 2ab + b²

Két tag különbségének a négyzete 3 tagból áll: az első tag négyzete (a²), a két tag kétszeres szorzata (-2ab), és a második tag négyzete (b²). 

Feladat: 2017. májusi érettségi feladatsor 13/c. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: (x - 1)² - 4 = -x - 1

Megoldás: Felbontjuk a zárójelet: x² - 2x - 1 - 4 = -x -1.

Nullára redukálunk: x² - x -4 = 0. Ezután behelyettesítünk a megoldóképletetbe és ellenőrzünk.

Még több kidolgozott feladatért kattints ide.

Mire lehet használni az a² - b² = (a + b) (a - b) azonosságot?

Szorzattá lehet így alakítani a két tag négyzetének  különbségét. Algebrai törtek egyszerűsítésekor, oszthatósági feladatokban, egyenletek megoldásakor jól jöhet.

Fordítva alkalmazva pedig villámgyorsan tudunk így összeszorozni speciális szorzatokat, ha felismerjük ezt az azonosságot.

Ha két szám összegét megszorozzuk ugyannak a két számnak a különbségével, akkor a két szám négyzetének a különbségét kapjuk.

(a + b) · (a - b) = a² -ab + ba -b² = a² -ab + ba -b² = a² - b² 

Feladat: Végezzük el a következő műveletet: (4x + 3) · (4x - 3)

Megoldás: Használjuk a nevezetes azonosságot: (4x + 3) · (4x - 3) = (4x)² - 3² = 16x² - 9.

Feladat: Végezzük el a következő műveletet: (2y - 5) · (5 + 2y)

Megoldás: Mielőtt alkalmaznánk az azonosságot beiktatunk egy lépést: a második zárójelben felcseréljük a tagokat.

Mivel az összeadás kommutatív művelet: (2y - 5) · (5 + 2y) = (2y - 5) · (2y + 5) = 4y² - 25.

Feladat: Egyszerűsítsük a következő törtet: 

Megoldás: Szorzattá alakítjuk a nevezőben lévő kifejezést: 

Tudunk egyszerűsíteni -vel, így a végeredmény:

A nevezetes azonosságok témából emelt szintű érettségire felkészítő segítséget az Algebra című Matek Oázis tananyagban találsz.

Elolvasom

Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása

2024. február 23.

Mi a szögfelező egyenes definíciója? Milyen tulajdonságai vannak a szögfelező egyenesnek? Mit mond ki a szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel? Hogy kell bizonyítani a szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tételt?