Téglatest felszíne és térfogata: képletek, feladatok

A téglatest az első testek között van, amiről tanulunk az iskolában. Felvételi feladatokban és az érettségin is gyakran előfordul. Ebben a cikkben részletesen összeszedtük, mit kell tudni erről a testről.

Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok

380 ingyenes tananyag!

Kérem az ingyenes tananyagokat

Mit nevezünk téglatestnek?

Definíció: A téglatest egy olyan egyenes hasáb, aminek az alapja téglalap

téglatest oldalai

Ha megnézed a Testek: a kocka és a téglatest című Matek Oázis tananyagot, akkor mindent interaktívan megtanulhatsz a téglatestről.

Az egyenes hasábokkal szeretnéd kezdeni a tanulást? Számolj velünk a Hasábok I. Matek Oázis tananyagban.

Mik a téglatest tulajdonságai?

A téglatestnek 6 lapja, 12 éle és 8 csúcsa van
Minden él két lapra illeszkedik, ezek a szomszédos oldalak
Minden csúcsban 3 él és 3 lap találkozik, a szomszédos lapok merőlegesek egymásra (az egy csúcsban összefutó élek páronként merőleges egymásra)
A téglatest szemközti oldalai párhuzamosak és egybevágók

téglatest tulajdonságai

Mit jelent a téglatest felszíne? Hogyan számítható?

A téglatest felszíne egyenlő a testet határoló téglalapok területeinek összegével.

Jelöljük a téglatest életeit az a, b, c betűkkel. Ekkor a téglatest felszíne: $A subscript t é g l a t e s t end subscript equals 2 times a times b plus 2 times a times c plus 2 times b times c equals 2 times left parenthesis a times b plus a times c plus b times c right parenthesis$

téglatest felszíne

A képletből azt tulajdonságot fedezhetjük fel, hogy 3 féle téglalap alkothatja a téglatestet, mindháromból pontosan két-két darab van.

A Testek felszíne, hálója Matek Oázis tananyag segítségével még jobban megértheted, hogy miért így számoljuk a felszínt.

Mit jelent a téglatest térfogata? Hogyan számítható?

A téglatest térfogata szemléletesen azt jelenti, hogy mennyi folyadék fér a test belsejébe. Hogyan számolhatjuk ki? :

A téglatest térfogata egyenlő az egy csúcsába futó élei hosszának szorzatával. Tehát, ha a téglatest éleit az a, b, c betűkkel jelöljük, akkor a térfogat: $V subscript t é g l a t e s t end subscript equals a times b times c$

Téglatest felszíne, térfogata: feladatok megoldással

1. feladat: Egy téglatest alakú akvárium belső méretei (egy csúcsból kiinduló éleinek hossza): 42 cm, 25 cm és 3 dm. Megtelik-e az akvárium, ha beletöltünk 20 liter vizet? (2006. május középszintű érettségi 6. feladata)

Megoldás: Átváltjuk az oldalak hosszát deciméterbe, így $a equals 4 comma 2 space c m space space b equals 2 comma 5 space d m space space space c equals 3 space d m$ . Ezeket behelyettesítjük a térfogatképletbe:

$V subscript t é g l a t e s t end subscript equals a times b times c equals 4 comma 2 times 2 comma 5 times 3 equals 31 comma 5 space d m cubed$

Egy liter egyenlő egy dm³-rel, azaz az akváriumba 31,5 liter víz fér, tehát nem telik meg 20 liter víztől.

2. feladat: Egy 12 cm oldalhosszúságú négyzetet megforgatunk az egyik oldalával párhuzamos szimmetriatengelye körül. Mekkora az így keletkező forgástest térfogata és felszíne? (2011. május középszintű érettségi 16. feladata)

Megoldás: A forgatást ez a GeoGebra animáció segít megérteni a forgatást.

Az így keletkező test tehát egy forgáshenger, aminek az alapkörének a sugara a négyzet oldalhosszának a fele, azaz 6 cm. A magasság megegyezik a négyzet oldalhosszával, tehát 12 cm. Minden adott, hogy kiszámoljuk a henger felszínét és térfogatát.

$A subscript h e n g e r end subscript space equals space 2 times T subscript k ö r end subscript plus T subscript p a l á s t end subscript space equals 2 times r squared times pi plus 2 times r times pi times m equals space 2 times 6 squared times pi plus 2 times 6 times pi times 12 equals 216 times pi almost equal to 679 space c m squared$

$V subscript h e n g e r end subscript equals T subscript a l a p end subscript times h equals r squared times pi times m equals 6 squared times pi times 12 equals 432 times pi almost equal to 1357 space c m cubed$

Milyen speciális téglatestek vannak?

Ha egy téglatest alapja négyzet, akkor négyzetes hasábnak nevezzük.

négyzetes hasáb

Az ábra és az előző fejezetek alapján felírhatjuk a következő összefüggéseket:
$begin mathsize 16px style straight A subscript négyzetes space hasáb end subscript equals 2 times straight a times straight a plus 4 times straight a times straight b straight V subscript négyzetes space hasáb end subscript equals straight a times straight a times straight b end style$

Ha egy téglatest minden lapja négyzet, akkor a testet kockának nevezzük.

Most is segítségül hívjuk az ábrát és az előző fejezeteket:

$A subscript k o c k a end subscript equals space 6 space times space a space times space a V subscript k o c k a end subscript equals space a space times space a space times space a$

kocka felszíne

Győződj meg róla, hogy minden tudsz a téglatestről, oldd meg a Felszín, térfogat Matek Oázis tesztet!

Komolyabb kihívást keresel? Oldd meg a Testek térfogata - nehezebb feladatok Matek Oázis tesztet, ahol összetettebb példákon keresztül használhatod fel, amit a téglatestről tanultál.

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár