Definíció | A különbséghalmaz elemei | Feladatok megoldással

A halmazműveletekkel középiskola elején találkozunk, ekkor tanuljuk meg, mit jelent a halmazok különbsége. Még az érettségi feladatsorokban is gyakran előkerül. Nézzük meg részletesebben, mit kell tudni halmazok különbségéről.

Felvételi Nyílt Napok

Kerülj be könnyedén a választott gimibe! 

Segítünk felkészülni! 

 

November 27-ig

Mit jelent az, hogy halmazok különbsége?

Definíció: Az A és B halmaz különbsége ("A-ból B") az a halmaz, mely az A halmaz összes olyan elemét tartalmazza, amelyek B halmaznak nem elemei. 

Két halmaz különbségét így jelöljük: A space backslash space B.

A és B halmaz különbsége a halmazábrán a zölddel jelölt rész (A \ B). A kék rész pedig B és A halmaz különbsége (B \ A). A narancssárga rész a két halmaz metszete (A ⋂ B).

Halmazok különbsége

Kérd az ingyenes próbaidőszakot, és tudj meg mindent a témáról a Halmazok: fogalmak és műveletek című Matek Oázis tananyagból.

Kérem az ingyenes próbaidőszakot!

Hogyan adható meg két halmaz különbsége?

Véges halmazoknál: ha ismerjük mindkét halmaz összes elemét, akkor könnyen meg tudjuk adni. Érdemes felírni a két halmaz elemeit egymás alá. Például:

A equals open curly brackets 1 semicolon space 2 semicolon space 3 semicolon space 4 semicolon space 5 semicolon space 6 semicolon space 7 semicolon space 8 semicolon space 9 semicolon space 10 close curly brackets
B equals open curly brackets 0 semicolon space 1 semicolon space 2 semicolon space 3 semicolon space 4 semicolon space 5 close curly brackets

A definíció szerint felírjuk a különbséget. Ebbe a különbséghalmazba azok az elemek kerülnek, amik csak A-ban vannak. Semelyik B-ben megtalálható elem nem szerepel a két halmaz különbségében: 

A space backslash space B space equals space open curly brackets 6 semicolon space 7 semicolon space 8 semicolon space 9 semicolon space 10 close curly brackets

Kevés elem esetén halmazábrába is beírhatjuk az elemeket. Az előző ábrán láthattuk, hogy melyik rész az A \ B. Az idekerülő elemek a feladat megoldásai.

A és B halmazok különbsége

Végtelen halmazokhoz kapcsolódó példát a feladatok között találsz.

Halmazműveletekről és jelölésekről itt olvashatsz bővebben.

Halmazok különbsége: feladatok megoldásokkal

1. feladat: Az A és a B halmazokról a következőket tudjuk: A ∩ B = {1; 2}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, A \ B = {5; 7}. Adjuk meg az A és a B halmaz elemeit!

Megoldás: A \ B = {5; 7}. Ez azt jelenti, hogy az 5 és 7 csak az A-nak eleme, B-nek nem. Ezért nem lehet benn ez a két elem a B-ben, így:

A ={1;2;5;7} és B ={1;2;3;4;6;}.

2. feladat (2022. októberi érettségi feladatsor 1. feladat): Adott a pozitív egész számok halmazának két részhalmaza:

A = {12-nél kisebb prímszámok}

B = {3-mal nem osztható egyjegyű számok}.

Elemei felsorolásával adja meg az A, a B, az A ∩ B és a B \ A halmazokat!

Megoldás: Felírjuk először A és B elemeit: 

A = {2; 3; 5; 7; 11}
B = {1; 2; 4; 5; 7; 8}

A metszetbe azok a számok kerülnek, amik mindkét sorban szerepelnek, ezek: A ∩ B = {2; 5; 7}.

A két halmaz különbségének felírásakor felírjuk az B halmaz elemeit, kivéve azokat, amik a metszetbe kerültek, így: B \ A = {1; 4; 8}.

Ha halmazábrával könnyebben boldogulsz, akkor így is meg lehet oldani. Először kitöltjük a metszetet (mindig ez az első lépés), majd a fennmaradó számokat is beírjuk:

halmazok különbsége érettségi

3. feladat: Mi lesz a következő intervallumok különbsége?
a) A = [-1 ; 4] B = [1 ; 5]
b) C = ]-infinity ; 3] D =[5 ; -infinity[

Megoldás: straight A space backslash space straight B space equals left square bracket negative 1 space semicolon space 1 space left square bracket

Az A halmaz eleme minden valós szám -1 és 4 között. Ezekből vettünk el a B halmaz elemeit. Mivel a B-ben szerepel az összes valós szám 1-től ötig, ezért a megoldások azok a számok, amik a [-1 ; 1[ balról zárt. jobbról nyílt intervallumban vannak. 
Mivel az 1-et elvettük, ezért az már nem része a különbséghalmaznak.

Hasonlóan végig gondolva: straight B space backslash space straight A space equals space right square bracket 4 space semicolon space 5 right square bracket

A b) részben láthatóan diszjunkt halmazaink vannak, azaz nincs közös elem. Ilyenkor a különbségek:

straight C space backslash space straight D space equals space right square bracket minus infinity space semicolon space 3 right square bracket space equals space straight C

straight D space backslash space straight C space equals space left square bracket 5 space semicolon space infinity left square bracket space equals space straight D

4. feladat: Határozzuk meg a következő halmazok különbségét!
straight real numbers space backslash space straight rational numbers
straight integer numbers space backslash space straight natural numbers

Megoldás: Az első példában a valós számokból elvesszük a racionális számukat. Mivel a valós számok halmazát a racionális számok és az irracionális számok alkotják, ezért az eredmény az irracionális számok halmaza.

straight real numbers space backslash space straight rational numbers space equals space straight rational numbers to the power of asterisk times

A második példában az egész számokból elvesszük a természetes számokat (0 ; 1 ; 2; ...), így a megoldás a negatív egész számok halmaza, amit így is jelölhetünk: straight integer numbers to the power of minus

A Halmazok: gyakorló feladatok című Matek Oázis tananyagban interaktívan gyakorolhatod a halmazokról tanultakat.

Dancsó Imre
Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár

Elolvasom A tetraéder fogalma, térfogata, felszíne

A tetraéder fogalma, térfogata, felszíne

2022. november 25.

Mi a tetraéder fogalma? Hogy számoljuk ki a tetraéder felszínét, térfogatát?

Végtelen tizedes törtek
2022. október 28.