Thálesz-tétel bizonyítása

​​​​​​​Thálesz-tétel | Thálesz-tétel bizonyítása | További bizonyítások

A NAT2020 középszintű matematika érettségi követelményei között szerepel, hogy "Bizonyítsa a Thálesz-tételt." Ebben a cikkben bemutatjuk a Thálesz-tétel bizonyítását.

A Thalész-tétel a geometria egyik legkorábbi tétele. Nevét az ókori görög területeken élő milétoszi Tháleszről (Kr. e. 624 – Kr. e. 546 ) kapta. Lejjebb találod a tételt, és annak bizonyítását. Ha inkább meghallgatnád a magyarázatokat, akkor ebben a Matek Oázis tananyagban megnézheted a Thálesz-tétel bizonyítását.

Kattints a lejátszáshoz!

Próbáld ki elfektetve a telefont.

0

0:00

Feliratkozom

Thálesz-tétel

Ha egy kör átmérőjének a két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. 

​​​​​​​

A kör egyik átmérőjének a két végpontja az A és B. Ezekhez, ha kiválasztjuk  a körvonal még egy tetszőleges pontját (esetünkben C, D, E pontok), akkor derékszögű háromszöget kapunk.

A derékszögű háromszögben az AB oldal az átfogó, és

• az AC és BC oldalak a befogók (ABC derékszögű háromszög) vagy
• az AD és BD oldalak a befogók (ABD derékszögű háromszög), vagy
• az AE és BE oldalak a befogók (ABE derékszögű háromszög)

Thálesz-tétel bizonyítása

1. lépés: Rajzoljunk egy O középpontú kört, húzzuk be egy átmérőjét, aminek a végpontjait jelöljük A-val, illetve B-vel. Kiválasztjuk a körvonal tetszőleges pontját és ezt jelöljük C-vel. Az A és a B csúcsot is összekötjük C-vel.
Ezenkívül jelöljük az A csúcsnál az 𝛼 szöget, B csúcsnál pedig a 𝛽 szöget.

2. lépés: Azt kell bebizonyítani, hogy az ABC háromszögben a C csúcsnál derékszög van, azaz 90°-os a szög. Az O középpontot összekötjük a C csúccsal. Mivel O a kör középpontja, a C pedig a körvonal egy pontja ezért a most behúzott OC szakasz a körnek egy sugara, amit r-el jelölünk. Ezenkívül tudjuk, hogy a körnek sugara még az AO és a BO szakaszok.

3. lépés: Észrevesszük, hogy AOC háromszög egyenlő szárú, hiszen van két egyenlő hosszúságú (AO és CO) oldala, hiszen mind a kettő sugárhosszúságú. Az egyenlő szárú háromszögről tudjuk, hogy az alapon fekvő szögei ugyanakkorák, tehát az ACO∡ is éppen 𝛼 nagyságú.

4. lépés: Észrevesszük, hogy a BCO háromszög is egyenlő szárú, hiszen van két sugárhosszúságú oldala (CO és BO). Tehát a BCO∡ is 𝛽 nagyságú

​​​​​​​

5. lépés: Ekkor a C csúcsnál van egy 𝛼 + 𝛽 nagyságú szögünk.  Tudjuk, hogy minden háromszögben a belső szögek összege 180°. Ez a mi háromszögünkben úgy alakul, hogy:
𝛼 + 𝛽 + (𝛼 + 𝛽) = 180°
Ezt az összefüggést felírhatjuk zárójelek nélkül is igazából. Sőt, össze is tudunk vonni:​​​​​​​
𝛼 + 𝛽 + 𝛼 + 𝛽 = 180°
         2𝛼 + 2𝛽 = 180°
​​​​​​​​​​​​​​Ezután mindkét oldalt osztjuk 2-vel:
 𝛼 + 𝛽 = 90°

Látjuk, hogy a C csúcsnál éppen 𝛼 + 𝛽 = 90° a szög nagysága, tehát az ABC háromszög valóban derékszögű háromszög, ezzel kész is a bizonyítás.

További középszintű bizonyítások

Pitagorasz-tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
Pitagorasz-tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Szinusztétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
​​​​​​​Szinusztétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Oldalfelezők merőlegesek metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
​​Oldalfelezők merőlegesek metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
​​​​​​​Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár