Vektor fogalma | Vektor geometriában, lineáris algebrában, analízisben | Vektorműveletek | Vektorok alkalmazása

Mi a vektor fogalma?

Definíció: Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

A vektoroknak van kezdőpontjuk és végpontjuk. A vektor a kezdőpontjából mutat a végpontjába.

Vektorok jelölése: v with rightwards harpoon with barb upwards on top semicolon space bottom enclose v space semicolon space bold italic v space semicolon space AB with rightwards harpoon with barb upwards on top. Az utolsó jelölés az A pontból B-be mutató vektort írja le.

Vektorok hosszának a jelölése: open vertical bar v with rightwards harpoon with barb upwards on top close vertical bar semicolon space open vertical bar bottom enclose v close vertical bar space semicolon space open vertical bar bold italic v close vertical bar space semicolon space open vertical bar AB with rightwards harpoon with barb upwards on top close vertical bar.

Az Alapok című Matek Oázis interaktív tananyagból gyorsan megtanulhatod a legfontosabbakat a vektorokról.

Mit jelent a vektor a geometriában, a lineáris algebrában és az analízis területén?

A geometriai értelmezést használjuk középiskolában. A vektorok olyan szakaszok, amiket a hosszukon kívül az irányukkal is jellemzünk.

Két vektor egyirányú, ha az őket meghatározó irányított szakaszok egyirányúak.

Két vektor ellentétes irányú, ha párhuzamosak és nem egyirányúak.

Két vektor egymás ellentettje, ha egyenlő hosszúak és ellentétes irányúak.

Két vektor egyenlő, ha irányuk és hosszuk is megegyezik.

Definíció: A nulla hosszúságú vektor neve nullvektor. A nullvektor iránya tetszőleges, minden más vektorral egyirányú. Jele: 0 with rightwards harpoon with barb upwards on top.

A lineáris algebra területén párhuzamos eltolásokat tudunk vektorokkal leírni, de ez egyetemi tananyag.

Az analízis kapcsán is egyetemi tananyagnak számítanak a vektorok.

Milyen vektorműveletek léteznek?

Vektorösszeadás

Az a with rightwards harpoon with barb upwards on top és b with rightwards harpoon with barb upwards on top vektorok összege az a párhuzamos eltolás vektor, amivel a with rightwards harpoon with barb upwards on top és b with rightwards harpoon with barb upwards on top vektorral meghatározott párhuzamos eltolások egymásutánja helyettesíthető.

Kétféle módszerrel adhatunk össze vektorokat.

Összefűzés

Ekkor az egyik vektor open parentheses a with rightwards harpoon with barb upwards on top close parentheses végpontjába toljuk a másik vektor open parentheses b with rightwards harpoon with barb upwards on top close parentheses kezdőpontját. Ezután összekötjük az első vektor kezdőpontját a másik végpontjával. Ez a vektor lesz a with rightwards harpoon with barb upwards on top és b with rightwards harpoon with barb upwards on topösszege. A módszer több vektorral is működik.

Paralelogramma-szabály

A két vektort közös kezdőpontba toljuk. Ezután a vektorok végpontjain keresztülmenő párhuzamosokat húzunk a másik vektorral. Így keletkezik egy paralelogramma. A két vektor összege a közös kezdőpontból kiinduló átló.

vektorok összege
Vektorok összeadása összefűzéssel és paralelogramma-szabállyal

Vektorok különbsége

Az a with rightwards harpoon with barb upwards on top és b with rightwards harpoon with barb upwards on top vektorok különbségét az összeadás segítségével értelmezzük: a with rightwards harpoon with barb upwards on top minus b with rightwards harpoon with barb upwards on top equals a with rightwards harpoon with barb upwards on top plus left parenthesis negative b with rightwards harpoon with barb upwards on top right parenthesis

A két vektort közös kezdőpontba toljuk. Ezután összekötjük a kivonandó open parentheses b with rightwards harpoon with barb upwards on top close parentheses végpontját a kisebbítendő open parentheses a with rightwards harpoon with barb upwards on top close parentheses végpontjával.

két vektor különbsége
Két vektor különbsége

A Vektorok összeadása és kivonása Matek Oázis szócikkben olvashatsz bővebben erről a két műveletről, és kidolgozott feladatokat is mutatunk.

Vektor szorzása számmal

Legyen a with rightwards harpoon with barb upwards on top vektor és lambda (lambda) valós szám. Ha egy vektort megszorzunk egy valós számmal (skalárral), akkor a vektor hossza open vertical bar lambda close vertical bar -szorosára változik. Ha lambda pozitív, akkor a vektor iránya nem változik, ha lambda negatív, akkor a vektor iránya az ellenkezőjére változik.

vektor szorzása számmal
Vektor szorzása számmal

Még több feladatot oldanál meg? Kattints ide.

Vektorok skaláris szorzata

Legyen adott két vektor: a with rightwards harpoon with barb upwards on top és b with rightwards harpoon with barb upwards on top . A két vektor skaláris szorzata: 

a with rightwards harpoon with barb upwards on top times b with rightwards harpoon with barb upwards on top equals open vertical bar a with rightwards harpoon with barb upwards on top close vertical bar times open vertical bar b with rightwards harpoon with barb upwards on top close vertical bar times cos open parentheses alpha close parentheses

vektorok skaláris szorzata
Két vektor skaláris szorzata

Az  a with rightwards harpoon with barb upwards on top left parenthesis a subscript 1 semicolon a subscript 2 right parenthesis ésb with rightwards harpoon with barb upwards on top left parenthesis b subscript 1 semicolon b subscript 2 right parenthesis vektorok skaláris szorzatát ki lehet számolni a koordinátákból is:

a with rightwards harpoon with barb upwards on top times b with rightwards harpoon with barb upwards on top equals a subscript 1 times b subscript 1 plus a subscript 2 times b subscript 2

A Vektorok című Matek Oázis tananyagban rengeteg interaktív példán keresztül gyakorolhatod a vektorműveleteket.

Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok

380 ingyenes tananyag!

 

Hogyan alkalmazzák a vektorokat a matematikában, fizikában, számítástechnikában?

Középiskolában matematikaórán a koordinátageometria témakörben találkozunk vektorokkal. Helyvektorok segítségével végzünk el vektorműveleteket. Vektorok segítségével adjuk meg két pont távolságát.

Szakaszok felezőpontját, harmadolópontját, p:q arányú osztópontját is vektorok koordinátáinak a segítségével tudjuk megadni. Ezenkívül egyenesek egyenletét is normálvektorral, vagy irányvektorral tudjuk felírni.

Két pont távolságát is vektorok segítségével tudjuk kiszámolni koordinátageometriában. Erről bővebben a Vektor hossza, két pont távolsága Matek Oázis szócikkben olvashatsz, ahol kidolgozott feladatot is találsz. 

Fizikában sokat számolunk vektormennyiségekkel. Vektormennyiségnek számítanak azok a mennyiségek, amiknek van irányuk és nagyságuk. Ilyen például a sebesség, gyorsulás, erő, lendület, elektromos térerősség stb.

Számítástechnikában a vektorok fogalma programozás során jelenik meg. Kulcs-érték párok tárolására használják (ez hasonló az x - y párokhoz), két értéket tartanak össze, amik a hivatkozást segítik.

Egy konkrét példa: a Matek Oázisban tároljuk azt az adatot, hogy egy felhasználónak, hány csillaga van. A kulcs a felhasználó azonosítója (ID), az érték pedig a csillagok darabszáma. Alkalmazáskor lekérem, hogy például a 325-ös felhasználónak hány csillaga van, és a program kiadja, hogy 4.

Dancsó Imre
Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár

Elolvasom Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

2024. május 27.

Mi az egészrész fogalma? Mi a törtrész fogalma? Mit kell tudni az egészrész függvényről? Mit kell tudni a törtrész függvényről?

Függvények ábrázolása
2024. május 27.

Szinusztétel bizonyítása
2024. február 21.
Thálesz-tétel bizonyítása
2024. február 21.
Végtelen tizedes törtek
2022. október 28.