Vektorok összeadása és kivonása

A vektorokkal végezhetők műveletek, például a (a1 ; a2) és b (b1 ; b2) vektorokat össze lehet adni.

Az a és b vektorok összege az a párhuzamos eltoltás vektor, amivel a és b vektorral meghatározott párhuzamos eltolások egymásutánaja helyettesíthető.

Rajzoláskor vagy a háromszögszabályt (felfűzés) (1) vagy a paralelogrammaszabályt (2) használjuk.

vektorok összeadása

Ha koordinátageometria feladatot kell megoldanunk, akkor a két vektort úgy adjuk össze, hogy összeadjuk külön az x koordinátáikat, és az y koordinátáikat:

a + b = (a1 + b1  ; a2 + b2)

A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív.

Az a és b vektorok különbségét így jelöljük: a - b. (Ez olyan vektor, amihez b-t adva az a vektort kapjuk vissza.)

Két vektor különbségét úgy rajzoljuk le, hogy közös kezdőpontból húzzuk a két vektort. A különbségvektor a kivonandó végpontjából mutat a kisebbítendő végpontjába: 

vektorok kivonása, két vektor különbsége

Koordinátákkal adott vektorok esetén nagyon egysezrű a kivonás, csak  a megfelelő koordinátákat kell kivonni egymásból: a - b = (a1 - b1  ; a2 - b2)

Példák vektorok összeadására és kivonására

1. feladat: Az ábrán egy négyzet oldalait és átlóit vektorokkal határozzuk meg. 

vektorok összeadása és kivonása feladat

Határozzuk meg a következő vektorokat:
a) a + b
b) c - d
c) b + e
d) (e - c) + a

Megoldás: 

a) Az ábrán gyakorlatilag kész is van a háromszögszabály, szépen látszik, hogy  a + b = f

b) A  c - d kivonás is könnyen elvégezhető, közös kezdőpontja van a vektoroknak. A különbségvektor d-ből mutat c-be, ez is éppen az f vektor. c - d  = f

c) Mivel a vektor összeadás kommutatív, ezért ezt a feladatot felírhatjuk úgy is, hogy e + b, ekkor egyszerű a megoldás háromszögszabállyal: e + b = c

d) Először elvégezzük a zárójelben lévő e - c kivonást, ennek az eredménye a -b vektor, hiszen a különbségvektor c végpontjából mutat e végpontjába. Ez a vektor ugyanolyan hosszú, mint b és vele ellentétes irányú, tehát ez a -b vektor. Mivel - b = d  (hiszen egynlő hosszúak, párhuzamosak, csak ellentétes irányúak), ehhez hozzáadni az a-t már egyszerű:  d + ae-vel.  Tehát:  (e - c) + a = e

A következő Matek Oázis videókkal tanulhatsz a vektorok összeadásáról és kivonásáról

Vektorok
Vektorok, vektorműveletek
Vektorok
Vektorok (ismétlés)
Vektorok a koordinátarendszerben
Vektorok - Vektorműveletek
18. Vektorok, vektorműveletek ...

18. Vektorok, vektorműveletek ...

18. tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbontási tétel. Vektorok koordinátái. Skaláris szorzat. A kidolgozott tételt fogod látni/ hallani a videón úgy, ahogyan azt a vizsgán is egy az egyben elmondhatod. Azokat érdemes felírni a táblára, amit a videón látsz kékkel. A videó 2. felében segítünk megtanulni is a tételt. Mit kell tudni a vektorokról? Az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. A szakasz azért irányított, mert van kezdőpontja és végpontja. Ez egy szemléletes megoldás, a vektor alapfogalom, nem definiáljuk. Egy vektort két mennyiséggel lehet jellemezni, a hosszával és az irányával. A vektor abszolútértéke definíció szerint a vektort meghatározó irányított szakasz hosszát jelenti. A nulla hosszúságú vektort nullvektornak nevezzük. Ennek a vektornak az iránya tetszőleges. A tetszőleges irány annyit tesz, hogy mindig annyi, amennyi szükséges: a nullvektor lehet párhuzamos és merőleges is egy másik vektorhoz viszonyítva. Két nem nullvektor szöge 0°, ha egyirányúak, 180° ha ellentétes irányúak, más esetben a két vektor iránya által meghatározott két szög közül a kisebb. Milyen műveleteket végezhetünk vektorokkal, és hogyan? A vektorok között műveleteket értelmezünk. a és b vektor összege annak az eltolásnak a vektora, amellyel helyettesíthető az a vektorral és a b vektorral történő eltolások egymásutánja. A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív művelet. Középiskolában vektorok összeadására a háromszög szabályt és a paralelogramma szabályt használtuk. Az a és b vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelyre a = b + c teljesül. Ezzel ekvivalens az a definíció, hogy az a-hoz hozzáadjuk a b ellentettjét. Most ismertetem a vektor skalárral való szorzását. Egy nullvektortól különböző a vektor tetszőleges alfa valós számmal, azaz skalárral vett szorzata egy olyan vektor, amelynek abszolút értéke alfa*|a|; Az irána alfa > 0 esetén az a vektorral egyirányú; alfa

Vektorok - vektorműveletek
Vektorok - helyvektor