Egyenes egyenlete

TESZT! Gyakorló feladatokat találsz ebben a videóban: Mennyi az egyenes meredeksége? Írd fel a P és Q pontokon átmenő egyenes egyenletét! Írd fel a C csúcson átmenő magasságvonal egyenletét! Határozd meg a két egyenes metszéspontját!

Írd fel az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! Írd fel az ABC háromszög mb magasságvonalának egyenletét! Írd fel az AB átmérőjű kör egyenletét! Számítsd ki a k kör és az mb metszéspontjának (metszéspontjainak) koordinátáit!

Hat feladat (megoldások nélkül) a 11. osztályos matematika tananyagból, melyek megoldásával ellenőrizheted, illetve próbára teheted a tudásod. Koordinátageometriai feladatok (szinusz-, koszinusz - tétel, egyenes egyenlete), exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek várnak. Útmutatást, jó tanácsokat is adunk ebben a videóban.

Az előző videó feladatinak megoldását találod itt. Koordinátageometriai feladatok (szinusz-, koszinusz - tétel, egyenes egyenlete), exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek megoldása vár. Ellenőrizheted magad, és el is magyarázzuk a helyes megoldást.

Az előző videó feladatainak megoldása vár. Ellenőrizheted magad, és el is magyarázzuk a helyes megoldást. Trigonometrikus-, exponenciális-, logaritmikus egyenleteket kellett megoldanod. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge? Koordinátageometriai feladat: Írd fel a P és Q ponton átmenő egyenes egyenletét! Milyen messze van a kör középpontja az origótól?

Ezen a videón a 2005.októberében megírt matek érettségi feladatok megoldásait nézzük át, az első 8 feladatét. Nagyon sok témakörből vették a példákat: algebrai tört egyszerűsítése, számelmélet(oszthatósági szabályok), trigonometria (szögfüggvények derékszögű háromszögekben),egyenes egyenlete, törtes egyenlőtlenség, algebra, vektorok. Oldjuk meg együtt ezeket a feladatokat!

A mostani matekvideóban a 2007-ben megírt matek érettségi utolsó feladatit boncolgatjuk. A 16.példa egy sokoldalú koordinátageometria feladat volt: kör egyenlete, egyenes egyenlete, súlypont koordinátái - ezt mind ismerni kellett hozzá. A 17.példa zömmel statisztika volt, de egy kis valószínűségszámítás is kellett hozzá. Az utolsó feladathoz a jó logikán kívül egy kis kombinatorika, valószínűségszámítás és a számtani sorozatok ismerete is kellett.

Ez a matematikai oktatóvideó olyan rövid feladatokat tartalmaz, melyekkel gyakorolhatod a koordinátageometria legfontosabb összefüggéseit. Vektorműveletek, egyenes egyenlete és kör egyenlete, metszéspontok kiszámítása. Írd fel az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! Írd fel az ABC háromszög mb magasságvonalának egyenletét! Írd fel az AB átmérőjű kör egyenletét! Számítsd ki a k kör és az mb metszéspontjának (metszéspontjainak) koordinátáit!

Ebben a videóban a koordinátageometriai feladatok megoldását gyakorolhatod. Két hosszú, összetett feladat megoldását nézzük végig, amikben szinte minden koordinátageometriai összefüggés előkerül, amit már megtanultunk az előző videókon. Sőt, elemi geometriai tudásra is szükség van a példák megoldásához. Párhuzamos egyenesek, paralelogramma, metszéspontok koordinátái, kör egyenlete, Thálesz-tétel, pontok távolsága, háromszög területe - ezek mind-mind előkerülnek a példákban.

Ezen a videón három összetett matekérettségi feladat megoldását nézzük végig részletesen. Az első feladatban egy logaritmikus egyenlet gyökeit kellett megtalálni, majd egy exponenciális egyenlet következett. A második példa koordinátageometria volt,kör és egyenes metszéspontjait, és a kör érintőjének egyenletét kellet kiszámolni. A 15. feladat kombinatorika volt, adott tulajdonságú ötjegyű számok számát kellett meghatározni. Próbáld meg megoldani a példákat, majd ellenőrizd velünk a levezetést!

Ez a matematikai oktatóvideó matekérettségi feladatok megoldásán vezet végig. 3 példa következik a 2008-as matematika érettségi II. részéből. Az első feladatban egy kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert kellett megoldani, a másodikban egy abszolútérték-függvény grafikonját kellett felrajzolni és meghatározni a transzformációs lépéseket, majd pedig egy egyenes egyenletét felírni. A harmadik példa kamatoskamat-számítás volt.

Találkozunk ismétléses kombinációval, ami bár nem követelmény mégis előfordult már érettségin. Gyakorolhatjuk exponenciális egyenlőtlenségek megoldását, kör és egyenes egyenletét, és természetesen a kombinatorikát.

Összeszedjük, hogy mik azok a tananyagok, amiket jól kell tudnod, a koordinátageometria témakörében. Jól kell bánnod a pontokkal, vektorokkal, és fel kell írnod egyenes ill. kör egyenletét, valamint ezek metszéspontját is.

20. tétel: A kör és a parabola elemi úton és a koordinátasíkon. Kör és egyenes, parabola és egyenes kölcsönös helyzete. Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Megmutatjuk a teljes kidolgozott tételt, úgy, ahogyan a vizsgán pl. el lehet mondani. A videóban kék színnel írtuk azt, amit mindenképp javaslunk, hogy te is írd fel a táblára a vizsgán. Nézzük tehát a tételt. Feleletemben a kört és a parabolát mutatom be elemi úton és a koordináta síkon. Kitérek a kör és egyenes, valamint a parabola és egyenes kölcsönös helyzetére is. Végül másodfokú egyenletek grafikus megoldásáról fogok beszélni és kitérek néhány matematikatörténeti vonatkozásra is. A kör az elemi és a koordinátageomatriában. Definíció: A kör azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól egyenlő távolságra helyezkednek el. Az adott pontot a kör középpontjának, az adott távolságot pedig a kör sugarának hívjuk. A kört egyértelműen meghatározza a síkon a középpontja és a sugara. Kimondok egy körről szóló tételt: A K(u,v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x-u)2+(y-v)2=r2. A kör egyenlete kétismeretlenes másodfokú egyenlet, ami átírva x2+y2-2ux-2vy+u2+v2-r2=0 alakú. Ezt egyszerűbben jelölve úgy is leírhatjuk, hogy x2+y2+Ax+By+C=0 Az ilyen alakban felírt kétismeretlenes másodfokú egyenlet akkor köregyenlet, ha A2+B2-4C pozitív. Matematikatörténet: Descartes- i vonatkozásokat érdemes itt elmesélni. Mit kell tudni a paraboláról? Definíciója: A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott egyenesétől és egy adott, az egyenesre nem illeszkedő pontjától ugyanolyan távolságra vannak. Az adott egyenest a parabola vezéregyenesnek, az adott pontot a parabola fókuszpontjának hívjuk. A vezéregyenes és a fókuszpont távolságát paraméternek hívjuk, és p-vel jelöljük. Minden parabolának van tengelye, ez egy fókuszpontra illeszkedő egyenes, ami merőleges a vezéregyenesre. A parabola tengelyen lévő pontját tengelypontnak nevezzük. Ez éppen a fókuszpontot és a vezéregyenest összekötő szakasz felezőpontja. Ebben a pontban van a parabola csúcsa. Tétel: az F(0;p/2) fókuszpontú y=-p/2 vezéregyenesű parabola egyenlete: y =1/2p *x2. A tételt a videóban bizonyítjuk. Ha a tengelypont nem az origóban van, hanem egy tetszőleges T(u;v) pontban, akkor a parabola egyenlete y=1/2p*(x-u)2+v alakban írható fel. Ha a parabola ellenkező irányban nyílik, akkor az 1/2p tört elé egy mínusz jelet kell írni. Minden másodfokú függvény grafikonja az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola, és minden y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola valamelyik másodfokú függvény grafikonja. Alkalmazás pl. parabolaantenna. Elmondjuk a működésének lényegét. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. Most áttérnék a kör és egyenes kölcsönös helyzetének a tárgyalására. A síkban egy körnek és egy egyenesnek kettő, egy vagy nulla közös pontja lehet. A közös pontokat, azaz a metszéspontokat a kör és egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer segítségével adhatjuk meg. A helyzetük többféle lehet: lehet két közös metszéspont – ez egy szelőt határoz meg, ha egy közös pont van, akkor az egyenes érintője a körnek, ha nincs közös metszéspont, akkor az egyenes a körön kívül halad. Parabola és egyenes kölcsönös helyzete. Egy parabolának és egy egyenesnek is 2, 1 vagy 0 közös pontja lehet. Ebben az esetben is egy két egyenletből álló két ismeretlenes egyenletrendszert kell megoldani, hogy megkapjuk hány metszéspont van. Fontos kiemelni, hogy ha 1 metszéspont van, akkor nem feltétlenül érintője az egyenes a parabolának, mert ha az egyenes párhuzamos a parabola tengelyével, akkor ő egy átmetsző egyenes. A parabola érintője olyan egyenes, ami nem párhuzamos a parabola tengelyével, és egy metszéspontja van a parabolával. Ha tudjuk, hogy az egyenes az A(x0;y0) pontban érinti a parabolát, akkor meg tudjuk adni az érintő egyenes egyenletét deriválással. A deriváltfüggvényben az x=x0 helyen felvett helyettesítési érték adja meg az érintő meredekségét. A meredekség és az A pont ismeretében fel tudjuk írni az érintő iránytényezős egyenletét. Koordináta-geometria alkalmazható geometriai feladatok megoldásában. Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása. A grafikus megoldásnál azt használjuk fel, hogy a másodfokú kifejezések képe parabola. Akárcsak a másodfokú egyenletnél, az egyenlőtlenségnél is nullára rendezünk, majd a bal oldalon álló kifejezés által meghatározott függvényt ábrázoljuk. Az egyenlőtlenség megoldása a grafikonról leolvasható, a videón részletezzük, hogyan. Néhány fizikai alkalmazást említünk a végén a csillagászat, a tükrök, mozgáspályák, építészet (statika) területéről. A tétel megtanulását is segítjük, hogy a szakzsargon ne okozzon gondot, könnyebben memorizálni tudd a definíciókat, tételeket.

Az egyenessel kapcsolatos alapfogalmakat vesszük át ezen a videón: irányvektor, normálvektor, irányszög, meredekség vagy iránytangens. Szó lesz az egyenes normálvektoros egyenletéről, a párhuzamos és merőleges egyenesekről.

Felírjuk háromszögek nevezetes vonalainak egyenletét, és szó lesz egyenesek metszéspontjáról is.

Hogyan számoljuk ki két egyenes metszéspontjának koordinátáit? Ebben a tananyagban erre a koordinátageometriai kérdésre keressük a választ. Konkrét feladatokban keressük meredekséges egyenlettel megadott egyenesek metszéspontját. 

TESZT! Meredekségével adott egyenes egyenlete teszt. Ebben a tesztben tudod gyakorolni, amit az egyenes egyenletéről tanultunk.  

Ha adott két pont a koordinátáival, akkor mi a rajtuk átmenő egyenes egyenlete? Ebben a tananyagban mutatunk három módszert, amivel meg tudod határozni két ponton átmenő egyenes egyenletét.

Párhuzamos egyenesek. Mikor párhuzamos két egyenes? Érettségi követelmény, hogy a tanuló ismerje meredekséggel megadott egyenesek párhuzamosságának koordinátageometriai feltételeit.  Ebben a tananyagban konkrét példákon keresztül sajátítjuk el a módszert. Merőleges egyenesek. Mikor merőleges két egyenes a koordinátarendszerben? Érettségi követelmény, hogy a tanuló ismerje meredekséggel megadott egyenesek merőlegességének koordinátageometriai feltételeit.   Interaktív tananyagunkban erről tanulunk.

Egyenes egyenlete. Meredekségével adott egyenes egyenletét tanuljuk meg ebben a tananyagban. Rajta van a P pont az egyenesen? Feladatokban gyakoroljuk az egyenes egyenletét. Megtanuljuk hogyan lehet megállapítani, hogy egy pont rajta van-e az egyenesen. Interaktív matematika tananyag. Közösen gondolkodva ismerjük meg alakzat egyenletét, egyenes egyenletét.