Kör kerülete és területe: hogyan számoljuk ki a legegyszerűbben?

Kör definíciója | Kör nevezetes vonalai | Kör részei | Kör kerülete | Kör területe | Nevezetes körök | Körös feladatok

A körrel bizonyára találkoztál már kiskorodban is. Nagyon szabályos alakzat, ugye? Bárhonnan nézed, körben egyforma :)

Mi a kör fogalma, definíciója? 

Meg kell különböztetnünk a körvonalat és a körlapot. Sokszor csak röviden kört mondunk, ilyenkor a szövegkörnyezetből derül ki, hogy mire is gondolunk pontosan.

Definíció:
A körvonal azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy adott ponttól, a kör középpontjától adott távolságra vannak. Ez az adott távolság a kör sugara.

Definíció:
A körlap azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy adott ponttól, a kör középpontjától legfeljebb adott távolságra vannak. Ez az adott távolság a kör sugara.

 

Mik a kör nevezetes vonalai? 

Sugár: a középpontot és a körvonal egy pontját összekötő szakasz (illetve ennek a szakasznak a hossza).

Húr : a körvonal két pontját összekötő szakasz.

Átmérő : a kör középpontján átmenő húr.

Szelő : az az egyenes, amelynek a körvonallal két közös pontja van.

Érintő: az az egyenes, amelynek a körvonallal egy közös pontja van.

Körív: a körvonalat két pontja két körívre bontja.

Tulajdonságok, kapcsolatok:

Az átmérő hossza a sugár hosszának kétszerese.

Az átmérőt d-vel szokás jelölni, a diameter görög szó kezdőbetűjéből. d = 2 ∙ r

Az érintő és a középpont távolsága egyenlő a sugárral, ezért az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre.

Melyek a kör részei? 

Körcikk: a körlemezt két sugár két körcikkre darabolja.

Körszelet: a körlemezt egy húr két körszeletre darabolja.

Körgyűrű: két azonos középpontú, különböző sugarú körvonal által határolt alakzat. (A körgyűrű szélessége a két sugár különbsége.)

A kör és részei interaktív tananyagunkban még alaposabben megismerkedhetsz a most olvasotakkal.

Mit jelent a kör kerülete? Hogyan számoljuk ki? 

Amikor a kör kerülete a kérdés, akkor arra vagyunk kíváncsiak, milyen hosszú a körvonal. Ezt a kör sugarának vagy átmérőjének ismeretében tudjuk meghatározni.

A kör kerülete a sugarával kifejezve: K = 2 ∙ r ∙ π

A kör kerülete az átmérőjével kifejezve: K = d ∙ π

A képletekben szereplő π a görög pí betű, amely a matematikában egy híres állandót jelöl, értéke π = 3,1415926535…, végtelen nem szakaszos tizedestört. Számításoknál 3,14 vagy 3,142 közelítő értékeket használunk.

Mit jelent a kör területe? Hogyan számoljuk ki? 

Ha a kör területéről van szó, akkor természetesen a körlap területére gondolunk.

A kör területképlete: T = r² ∙ π

Nevezetes körök 

Háromszögek nevezetes körei a háromszög köré írt köre és a háromszög beírt köre. Elnevezésük is beszédes, de mit is jelentenek ezek pontosan?

A háromszög köré írt kör

A háromszög köré írt köre az a kör, amely átmegy a háromszög mindhárom csúcsán. Ezt a kört úgy kapjuk meg, hogy megkeressük a háromszög oldalfelező merőlegeseit, és ezek metszéspontja adja a köré írt kör középpontját.
Ezután kapjuk meg a kör sugarát: a középpont és bármelyik csúcs távolsága lesz a köré írt kör sugara.

A háromszög beírt köre

A háromszög beírt köre az a kör, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát. Ennek a középpontját pedig a háromszög belső szögfelezőinek metszéspontjaként kapjuk. Sugara a középpont és valamely oldal távolsága.

Minden háromszögnek van beírt és köré írt köre. Ez négyszögekről és egyéb sokszögekről már nem mondható el. Azokat a sokszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintősokszögeknek nevezzük (hiszen oldalai érintik a kört). Azokat a sokszögeket, amelyeknek van köré írt körük, húrsokszögeknek nevezzük, hiszen az oldalaik a kör húrjai.

Ha az elektronikus tankönyvek híve vagy, akkor kattints ide. 

Körös feladatok 

1. Feladat: Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek a kerülete 44 cm?

Megoldás: K = 44 cm, r=?

A kör kerület-képletét használjuk: K = 2 ∙ r ∙ π

Ebbe behelyettesítjük a megadott kerület  és π (≈ 3,14) értékét:
44 = 2 ∙ r ∙ π
44 = 2 ∙ r ∙ 3,14
22 = r ∙ 3,14  
r = 22 / 3,14 = 7

Tehát a kör sugara 7 cm hosszú.

2. Feladat: Osszál fel egy 6 cm sugarú kört 5 egyforma körcikkre.

a) Mekkora egy ilyen körcikk területe?
b) Mekkora egy ilyen körcikk kerülete?

Megoldás: r = 6 cm

a) Előszörkiszámoljuk a teljes kör területét: T = ^r2 ∙ π = 62 ∙ π cm² ≈ 36 ∙ 3,14  cm² = 113,04 cm²

Mivel öt egyforma körcikkre vágtuk, egy-egy cikk területe a teljes körterület ötöde lesz:

T_körcikk= T / 5 = 113,04  cm² / 5 = 22,61 cm²

b) Észrevetted, milyen részekből áll össze a körcikk kerülete? Bizony, 2 egyforma szakasz és egy körív alkotja a körcikk kerületét. A szakaszok hossza sugárnyi, a körív pedig a körkerület ötöde, így:

K_körcikk= 2 ∙ r + K / 5 = 2 ∙ r + (2 ∙ r ∙ π) / 5 ≈ 2 ∙  6 cm + (2 ∙  6 cm ∙ 3,14) / 5 = 19,54 cm

3. Feladat: Azonos középpont körül 6 cm, illetve 8 cm sugárral köröket rajzolva egy 2 cm „vastag” körgyűrűt kapunk.

a) Határozd meg a körgyűrű területét!
b) Hány százaléka a 8 cm sugarú kör területének a körgyűrű területe?

Megoldás: r₁ = 6 cm, r₂ = 8 cm

a) Határozzuk meg a körgyűrű területét! A módszer egyszerű: a nagyobb kör területéből kivonjuk a kisebb kör területét.

T_körgyűrű=T₂ – T₁ =  r₂² ∙ π - r₁² ∙ π = 8² ∙π – 6²∙π =  64∙π – 36∙π = 28∙π ≈ 28∙3,14=87,92

Tehát a körgyűrű területe 87,92 cm2.

b) Ehhez először ki kell számolnunk a 8 cm sugarú kör területét.

T₂ = r₂² ∙ π = 8² ∙ π = 64 ∙ π = 64 ∙ 3,14 = 200, 96 (cm²)

Ahhoz, hogy a feladat kérdését megválaszoljuk, el kell osztanunk az a) feladatban megkapott körgyűrű-területet a nagy kör területével, és ezt meg kell szoroznunk 100-zal:

Tehát 43,75  százaléka a 8 cm sugarú kör területének a körgyűrű területe.

Kicsit elegánsabb és precízebb a számolás, ha a kerekített értékek helyett a pontos értékekkel számolunk:

Az teszi igazán precizzé a számolást, hogy pi-vel tudunk egyszerűsíteni, és így csak egy közönséges tört marad. 

– Tóth Viktória –

Elolvasom

Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása

2024. február 23.

Mi a szögfelező egyenes definíciója? Milyen tulajdonságai vannak a szögfelező egyenesnek? Mit mond ki a szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel? Hogy kell bizonyítani a szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tételt?