Kör kerülete és területe: hogyan számoljuk ki a legegyszerűbben?
Kör definíciója | Kör nevezetes vonalai | Kör részei | Kör kerülete | Kör területe | Nevezetes körök | Körös feladatok
A körrel bizonyára találkoztál már kiskorodban is. Nagyon szabályos alakzat, ugye? Bárhonnan nézed, körben egyforma :)
Mi a kör fogalma, definíciója?
Meg kell különböztetnünk a körvonalat és a körlapot. Sokszor csak röviden kört mondunk, ilyenkor a szövegkörnyezetből derül ki, hogy mire is gondolunk pontosan.
Definíció:
A körvonal azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy adott ponttól, a kör középpontjától adott távolságra vannak. Ez az adott távolság a kör sugara.
Definíció:
A körlap azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy adott ponttól, a kör középpontjától legfeljebb adott távolságra vannak. Ez az adott távolság a kör sugara.
Mik a kör nevezetes vonalai?
Sugár: a középpontot és a körvonal egy pontját összekötő szakasz (illetve ennek a szakasznak a hossza).
Húr : a körvonal két pontját összekötő szakasz.
Átmérő : a kör középpontján átmenő húr.
Szelő : az az egyenes, amelynek a körvonallal két közös pontja van.
Érintő: az az egyenes, amelynek a körvonallal egy közös pontja van.
Körív: a körvonalat két pontja két körívre bontja.
Tulajdonságok, kapcsolatok:
Az átmérő hossza a sugár hosszának kétszerese.
Az átmérőt d-vel szokás jelölni, a diameter görög szó kezdőbetűjéből. d = 2 ∙ r
Az érintő és a középpont távolsága egyenlő a sugárral, ezért az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre.
Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok
380 ingyenes tananyag!
Melyek a kör részei?
Körcikk: a körlemezt két sugár két körcikkre darabolja.
Körszelet: a körlemezt egy húr két körszeletre darabolja.
Körgyűrű: két azonos középpontú, különböző sugarú körvonal által határolt alakzat. (A körgyűrű szélessége a két sugár különbsége.)
A kör és részei interaktív tananyagunkban még alaposabben megismerkedhetsz a most olvasotakkal.
Mit jelent a kör kerülete? Hogyan számoljuk ki?
Amikor a kör kerülete a kérdés, akkor arra vagyunk kíváncsiak, milyen hosszú a körvonal. Ezt a kör sugarának vagy átmérőjének ismeretében tudjuk meghatározni.
A kör kerülete a sugarával kifejezve: K = 2 ∙ r ∙ π
A kör kerülete az átmérőjével kifejezve: K = d ∙ π
A képletekben szereplő π a görög pí betű, amely a matematikában egy híres állandót jelöl, értéke π = 3,1415926535…, végtelen nem szakaszos tizedestört. Számításoknál 3,14 vagy 3,142 közelítő értékeket használunk.
Mit jelent a kör területe? Hogyan számoljuk ki?
Ha a kör területéről van szó, akkor természetesen a körlap területére gondolunk.
A kör területképlete: T = r2 ∙ π
Nevezetes körök
Háromszögek nevezetes körei a háromszög köré írt köre és a háromszög beírt köre. Elnevezésük is beszédes, de mit is jelentenek ezek pontosan?
A háromszög köré írt kör
A háromszög köré írt köre az a kör, amely átmegy a háromszög mindhárom csúcsán. Ezt a kört úgy kapjuk meg, hogy megkeressük a háromszög oldalfelező merőlegeseit, és ezek metszéspontja adja a köré írt kör középpontját.
Ezután kapjuk meg a kör sugarát: a középpont és bármelyik csúcs távolsága lesz a köré írt kör sugara.
A háromszög beírt köre
A háromszög beírt köre az a kör, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát. Ennek a középpontját pedig a háromszög belső szögfelezőinek metszéspontjaként kapjuk. Sugara a középpont és valamely oldal távolsága.
Minden háromszögnek van beírt és köré írt köre. Ez négyszögekről és egyéb sokszögekről már nem mondható el. Azokat a sokszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintősokszögeknek nevezzük (hiszen oldalai érintik a kört). Azokat a sokszögeket, amelyeknek van köré írt körük, húrsokszögeknek nevezzük, hiszen az oldalaik a kör húrjai.
Ha az elektronikus tankönyvek híve vagy, akkor kattints ide.
Körös feladatok
1. Feladat: Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek a kerülete 44 cm?
Megoldás: K = 44 cm, r=?
A kör kerület-képletét használjuk: K = 2 ∙ r ∙ π
Ebbe behelyettesítjük a megadott kerület és π (≈ 3,14) értékét:
44 = 2 ∙ r ∙ π
44 = 2 ∙ r ∙ 3,14
22 = r ∙ 3,14
r = 22 / 3,14 = 7
Tehát a kör sugara 7 cm hosszú.
2. Feladat: Osszál fel egy 6 cm sugarú kört 5 egyforma körcikkre.
a) Mekkora egy ilyen körcikk területe?
b) Mekkora egy ilyen körcikk kerülete?
Megoldás: r = 6 cm
a) Előszörkiszámoljuk a teljes kör területét: T = r2 ∙ π = 62 ∙ π cm2 ≈ 36 ∙ 3,14 cm2 = 113,04 cm2
Mivel öt egyforma körcikkre vágtuk, egy-egy cikk területe a teljes körterület ötöde lesz:
Tkörcikk= T / 5 = 113,04 cm2 / 5 = 22,61 cm2
b) Észrevetted, milyen részekből áll össze a körcikk kerülete? Bizony, 2 egyforma szakasz és egy körív alkotja a körcikk kerületét. A szakaszok hossza sugárnyi, a körív pedig a körkerület ötöde, így:
Kkörcikk= 2 ∙ r + K / 5 = 2 ∙ r + (2 ∙ r ∙ π) / 5 ≈ 2 ∙ 6 cm + (2 ∙ 6 cm ∙ 3,14) / 5 = 19,54 cm
3. Feladat: Azonos középpont körül 6 cm, illetve 8 cm sugárral köröket rajzolva egy 2 cm „vastag” körgyűrűt kapunk.
a) Határozd meg a körgyűrű területét!
b) Hány százaléka a 8 cm sugarú kör területének a körgyűrű területe?
Megoldás: r1 = 6 cm, r2 = 8 cm
a) Határozzuk meg a körgyűrű területét! A módszer egyszerű: a nagyobb kör területéből kivonjuk a kisebb kör területét.
Tkörgyűrű=T2 – T1 = r22 ∙ π - r12 ∙ π = 82 ∙π – 62∙π = 64∙π – 36∙π = 28∙π ≈ 28∙3,14=87,92
Tehát a körgyűrű területe 87,92 cm2.
b) Ehhez először ki kell számolnunk a 8 cm sugarú kör területét.
T2 = r22 ∙ π = 82 ∙ π = 64 ∙ π = 64 ∙ 3,14 = 200, 96 (cm2)
Ahhoz, hogy a feladat kérdését megválaszoljuk, el kell osztanunk az a) feladatban megkapott körgyűrű-területet a nagy kör területével, és ezt meg kell szoroznunk 100-zal:
Tehát 43,75 százaléka a 8 cm sugarú kör területének a körgyűrű területe.
Kicsit elegánsabb és precízebb a számolás, ha a kerekített értékek helyett a pontos értékekkel számolunk:
Az teszi igazán precizzé a számolást, hogy pi-vel tudunk egyszerűsíteni, és így csak egy közönséges tört marad.
– Tóth Viktória –
Mi az egészrész fogalma? Mi a törtrész fogalma? Mit kell tudni az egészrész függvényről? Mit kell tudni a törtrész függvényről?
Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok
2024. május 27.