Belső szögek összege | Külső szögek összege | Összefüggés a belső és külső szögek között | Feladatok

A következő kérdést egy kedves diákunk küldte nekünk. Nézzük meg részletesen is!

Kérdés:

Mennyi a háromszög külső és belső szögeinek az összege?

Válasz (röviden):

Mivel minden külső szög 180°-ra egészíti ki a mellette fekvő belső szöget, ezért az egy csúcsnál levő külső és belső szög összege 180°. Így a 3 csúcsnál levő szögek összege 3 ∙ 180° = 540°.
De persze ugyanez jön ki akkor is, ha egyenként összeadjuk alfa, béta, gamma külső szögeit: (180° - α) + (180° - β) + (180° - γ), majd hozzáadjuk a belső szögeket: (α + β + γ). Ekkor is csak a 3×180°-ot kapunk.

Válasz részletesebben:

Mivel a külső szögekkel ritkán számolunk, ezért sokak számára nehéz ez a kérdés. Emiatt nézzük meg ezt most részletesebben is.

Mennyi a háromszög belső szögeinek összege?

7. osztályban rántjuk le a leplet erről az összefüggésről:

Tétel: Minden háromszög belső szögeinek összege 180°.

A három szöget szinte mindig a görög abc első három betűjével jelöljük. Ezek a következők: α (alfa),  β (béta), γ (gamma). A leírt tételt nagyon könnyen lehet bizonyítani váltószögek segítségével. A Háromszög szögei, oldalai című tananyagunkban megmutatjuk ezt a bizonyítást, és még sok érdekességet a háromszögekről.

Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok

380 ingyenes tananyag!

 

Mennyi a háromszög külső szögeinek összege?

Mielőtt kimondjuk a tételt, tisztázzuk, mit nevezünk a háromszög külső szögének. Az ABC háromszögünk minden oldalát hosszabítsuk meg: az AB oldalt a B csúcson keresztül, a BC oldalt a C csúcson keresztül, és az AC oldalt az A csúcson keresztül!  Így már látjuk is a külső szögeket:  α' (alfa-vessző),  β' (béta-vessző), γ'(gamma-vessző). A külső szög mindig 180°-ra egészíti ki a mellette fekvő belső szöget.

háromszög szögei külső szögei

Ahogy ezen az ábrán is látszik α + α' = 180°, β + β' = 180° és γ + γ' = 180°.  Ebből mindjárt látjuk, hogy a belső és külső szögek összege  együtt (α + α' + β + β' + γ + γ' ) =  3 ∙ 180°, ami 540°. És mivel a belső szögek összege 180°, ezért:

Tétel: Minden háromszög külső szögeinek összege 360°.

piramis háromszög szög
A híres gízai piramisok oldallapjai háromszög alakúak

Milyen összefüggések vannak a háromszög külső és belső szögei között?

Az előbb már láttuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege α  + β + γ = 180°. Tovább azt is láttuk, hogy hogy α + α' = 180°. Alaposan megnézve ezt a két összefüggést azt látjuk, hogy α-hoz akár α'-t, akár (β + γ)-t adunk hozzá, az összeg 180° lesz. Emiatt fennáll, hogy  α' = β + γ. Hasonlóan levezetve a másik két szögre azt kapjuk, hogy  β' = α + γ és   γ' =  α + β. Általánosságban tehát elmondhatjuk, hogy

A háromszögben egy külső szög egyenlő a nem mellette fekvő  két belső szög összegével.

Nyári Matek Kihívás fődíj Nyári Matek Kihívás fődíj

MATEKOZZ ÉS NYERJ!

Értékes APPLE, SAMSUNG és menő JBL cuccok várnak Rád!

ÉRDEKEL »

Feladatok a háromszögek szögeivel kapcsolatban

1. Feladat: Mekkorák annak a háromszögnek a külső szögei, amelynek két belső szöge: α = 39°, β = 67°?

Megoldás: Először érdemes kiszámolni a harmadik belső szöget is. γ = 180°- (α + β) = 180°- (39° + 67°) 180° - 106° = 74°.
Ahogy írtuk, a háromszög egy belső szögének és a hozzátartozó külső szögének az összege 180°. Tehát: 

α + α' = 180° ➡ α' = 180° - α = 180° - 39° = 141°
β + β' = 180° ➡ β'  = 180° - β = 180° - 67° = 113°
γ  + γ'  = 180°➡ γ'  = 180° - γ = 180° - 74° = 106°

Tehát a háromszög külső szögei: 141°, 113°, 106°.

2. Feladat: Mekkorák a háromszög belső szögei, ha két külső szöge: α' = 121°, β' = 82°? Mekkora a hiányzó külső szög?

Megoldás: α és β szögek meghatározása gyerekjáték.

α + α' = 180° ➡ α = 180° - α' = 180° - 121° = 59°
β + β' = 180° ➡ β = 180° - β' = 180° - 82° = 98°

γ' meghatározásához használjuk fel az előző fejezetben tanult összefüggést, mely szerint a háromszögben egy külső szög egyenlő a nem mellette fekvő  két belső szög összegével. Így:

γ' = α  + β = 59° + 98° = 157°. Innen  γ könnyen kiszámítható: γ = 180° - γ' = 180° - 157° = 23°.

Tudjuk, hogy a háromszög belső szögeinek össze 180°, ezért az ellenőrzés könnyű: α + β + γ = 59° + 98° + 23° = 180°. Tehát jól használtuk a sháromszög külső és belső szögei közötti összefüggést.

Mit tudsz a háromszögekről? Itt tesztelheted a tudásodat:  Teszt a háromszögek szögeiről, oldalairól

Dancsó Imre
Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár

Elolvasom Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

2024. május 27.

Mi az egészrész fogalma? Mi a törtrész fogalma? Mit kell tudni az egészrész függvényről? Mit kell tudni a törtrész függvényről?

Függvények ábrázolása
2024. május 27.

Szinusztétel bizonyítása
2024. február 21.
Thálesz-tétel bizonyítása
2024. február 21.
Végtelen tizedes törtek
2022. október 28.

Nyári Matek Kihívás fődíj Nyári Matek Kihívás fődíj

MATEKOZZ ÉS NYERJ!

Értékes APPLE, SAMSUNG és menő JBL cuccok várnak Rád!

ÉRDEKEL »