Az x tengely, az y tengely és a derékszögű koordinátarendszer - minden, amit tudnod kell róla

Mi az a koordinátarendszer | Derékszögű koordinátarendszer | x tengely, y tengely | x és y tengely egyenlete | Feladatok

A kérdés így hangzik:

Adja meg a 3x + 2y =18 egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit!

Ez egy 11. osztályos koordinátageometria feladat, amire a választ lejjebb, a 3. feladatban olvashatod. Előtte azonban összefoglaljuk, hogy 5. osztálytól kezdve mit tanulunk a derékszögű koordinátarendszerről. Megnézzük mire használható, melyik az x tengely és az y tengely. Végül nézünk egy-egy típusfeladatot a könnyűektől egészen a tizenegyedikes koordinátageometria példákig.

Mi az a koordinátarendszer, mire való?

A koordinátarendszer, amit érettségiig sokszor fogsz lerajzolni.

A koordinátarendszer segít nekünk egyenesen, síkon és térben pontok helyét meghatározni. Az első koordinátarendszer, amivel találkozol az iskolában a számegyenes. Egy pont helyét koordinátákkal (számokkal) adhatjuk meg. Például a számegyenesen nagyon könnyű dolgunk van, hiszen csak egy számra van szükségünk, ahhoz hogy megkapjuk egy pont helyzetét.

Ezen az ábrán P pont helyzete 7.

A síkban már két változó kell ahhoz, hogy megadjuk egy pont helyzetét. Gyerekként biztos te is játszottál a Torpedó nevű játékkal. Itt egy betűt és egy számot kell mondani, hogy megtaláljuk ellenfelünk hajóit. Ez is egy koordinátarendszer, két koordináta (egy betű és egy szám) egyértelműen meghatározza a pálya akármelyik pontját.

Torpedó játék, ahol 2 koordináta bemondásával lőhetünk az ellenfél hajóira

Ha megnézed a földrajz atlaszod, vagy egy turistatérképet, akkor ott a térképek szélén is fogsz látni számokat és betűket (vagy hosszúsági- és szélességifokokat), amik segítík a tájékozódást. A térben való tájékozódáshoz már 3 koordináta szükséges. Ezzel nehezebb matek- és fizikafeladatokban találkozhatsz.

Hogyan épül fel egy derékszögű koordinátarendszer?

Általános iskolában és középiskolában a derékszögű koordinátarendszerrel találkozol a legtöbbet. A síkban való tájékozódáshoz használjuk a derékszögű koordinátarendszert, aminek a segítségével egy sík pontjainak a helyét pontosan meg tudjuk határozni. Ehhez szükségünk van két egymásra merőleges számegyenesre (ezért hívjuk derékszögű koordinátarendszernek), amik a nulla pontban metszik egymást. Ez a metszéspont kitüntetett, a neve origo. A két tengely 4 darab egymástól jól elkülöníthető részre osztja a síkot. Ezeknek a részeknek a neve síknegyed. Az alábbi ábra megmutatja, melyik az első, második, harmadik és negyedik síknegyed. 

Melyik az x tengely és y tengely? Mit határoznak meg?

A derékszögű koordinátarendszerben a vízszintes tengelyt nevezzük x tengelynek, a függőlegest pedig y tengelynek. A sík minden pontját le tudjuk írni két szám (két koordináta) segítségével. Az ábrán látható P pont koordinátái ( 2 ; 3 ). Az első koordináta, a 2 azt jelenti, hogy a P pont 2 egység távolságra van az y tengelytől. A második koordinátája, a 3 pedig azt jelenti, hogy a P 3 egység távolságra van az x tengelytől. A távolság negatív is lehet, azaz előjeles távolságokat vizsgálunk. Tehát a P pont első koordinátája 2, a második koordinátája 3. Ezt röviden, és szemléletesen így jelöljük: P ( 2 ; 3 ).
Ha négyzetrácsban gondolkodunk, akkor az origóból indulva kettőt lépünk jobbra, hármat fel, így kapjuk meg P ( 2 ; 3 ) pontot. Ha az első szám negatív, akkor balra indulunk, ha a második szám negatív, akkor pedig lefelé megyünk.

Az ábrán jelöltük még A pontot, aminek a koordinátái ugyanazok, mint P pont koordinátái, csak fordított sorrendben. Azaz: A ( 3 ; 2 ). Látható, hogy ennek az A pontnak a helye máshol van a koordinátarendszerben, mint P pontnak. Tehát számít a koordináták sorrendje. Összegezve elmondhatjuk, hogy a sík minden pontját egyértleműen meghatározza egy rendezett számpár (a rendezett számpár azt jelenti, hogy figyelembevesszük az első és második koordináta sorrendjét). Az origo koordinátái ( 0 ; 0 ).
Nagyon fontos, hogyha ábrát készítesz, akkor mindig jelöld, hogy melyik az x tengely és melyik az y tengely. Előfordulhat, hogy találkozol olyan tankönyvvel, amiben az x tengelyt egyes tengelynek, az y tengelyt pedig kettes tengelynek nevezi.

Még többet szeretnél megtudni az alapokról? Csatlakozz hozzánk és kérd az ingyenes próbaidőszakot!

Mi az x tengely egyenlete? Mi az y tengelyé?

11. osztályban megtanulod a koordináta-geometria alapjait és szépségeit. Többek között tanulsz arról, hogy a síkbeli derékszögű koordinátarendszerben elhelyezkedő alakzatoknak (például: egyenes, kör, parabola) van egyenletük. Ahogy korábban írtuk az x tengely és y tengely számegyenesek, ezért nekünk az egyenes egyenletére lesz szükségünk. Ennek a definíciója a következő:

Definíció: A síkbeli derékszögű koordinátarendszerben az egyenes egyenlete egy olyan két ismeretlenes egyenlet, amelyet csak azoknak a P (x ; y ) pontnak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek az egyenesre.

Ha úgy érzed hiányosságaid vannak, vagy csak bővebben érdekel a téma, akkor nézd meg az Egyenes egyenlete tananyagunkat! Ha logikusan végig gondoljuk, akkor egyértelmű, hogy 

Az x tengely egyenlete: y = 0, hiszen azok a pontok vannak rajta az x tengelyen, amiknek az második, azaz az y koordinátája 0.

Az y tengely egyenlete: x= 0, hiszen azok a pontok vannak rajta az y tengelyen, amiknek az első, azaz az x koordinátája 0.

X tengellyel kapcsolatos feladatok

1. feladat (5. osztálytól): Melyik síknegyedben vannak a következő pontok? A(-2 ; 3); B(-3 ; -3); C(4 ; -1); D (1 ; -2)

Megoldás: Ha már sok feladatot megoldottál, akkor biztos ábrakészítés nélkül is meg tudod oldani ezt a példát. Mi most készítettünk egy ábrát, hogy szemléletessen megmutassuk a megoldást

Az A pont a II. síknegyedben van.
A B pont a III. síknegyedben van.
A C pont a IV. síknegyedben van.
A D pont a IV. síknegyedben van.

2. feladat (5. osztálytól): Egy négyzet 2 szomszédos csúcsa: A (1 ; 1); B ( 5 ; 1). Add meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! Hány megoldás van? (5. osztálytól)

Megoldás: Remélem te is megtaláltad mind a két megoldást!

 A és B csúcsok koordinátáiból vagy, ha ábrázoltad a pontokat kiderült, hogy a négyzet oldalainak a hossza 4 egység hosszú. Adott tehát a négyzet egyik oldala, ezt érdemes ábrázolni. Az ábrát tudjuk felfelé és feleé is folytatni. Ha felfelé folytatjuk, akkor a négyzet másik két csúcsa: C (1 ; 5) és D (5 ; 5). Ha lefelé egészítjük ki az ábrát, akkor E (1 ; -3) és F (5 ; -3). Más megoldás nincs.

3. feladat (11. osztály és érettségi): Adja meg a 3x + 2y =18 egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit!

Megoldás: Az adott egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátái meghatározásához fel kell írni az y tengely egyenletét (hiszen az is egy egyenes).

Majd az így kapott két egyenes egyenletét egyenletrendszerként megoldva megkapjuk a két egyenes keresett metszéspontjának koordinátáit.

Az y tengely egyenlete: x = 0 Egyenletrendszer:

3x + 2y = 18
x = 0
Ha x = 0 -t behelyettesítjük az 1. egyenletbe: 2y = 18 , ebből y = 9.

A keresett metszéspont koordinátái M (0 ; 9).

Elolvasom

Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása

2024. február 23.

Mi a szögfelező egyenes definíciója? Milyen tulajdonságai vannak a szögfelező egyenesnek? Mit mond ki a szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel? Hogy kell bizonyítani a szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tételt?