Az x tengely, az y tengely és a derékszögű koordinátarendszer - minden, amit tudnod kell róla

Mi az a koordinátarendszer | Derékszögű koordinátarendszer | x tengely, y tengely | x és y tengely egyenlete | Feladatok

A kérdés így hangzik:

Adja meg a 3x + 2y =18 egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit!

Ez egy 11. osztályos koordinátageometria feladat, amire a választ lejjebb, a 3. feladatban olvashatod. Előtte azonban összefoglaljuk, hogy 5. osztálytól kezdve mit tanulunk a derékszögű koordinátarendszerről. Megnézzük mire használható, melyik az x tengely és az y tengely. Végül nézünk egy-egy típusfeladatot a könnyűektől egészen a tizenegyedikes koordinátageometria példákig.

Mi az a koordinátarendszer, mire való?

A koordinátarendszer, amit érettségiig sokszor fogsz lerajzolni.

A koordinátarendszer segít nekünk egyenesen, síkon és térben pontok helyét meghatározni. Az első koordinátarendszer, amivel találkozol az iskolában a számegyenes. Egy pont helyét koordinátákkal (számokkal) adhatjuk meg. Például a számegyenesen nagyon könnyű dolgunk van, hiszen csak egy számra van szükségünk, ahhoz hogy megkapjuk egy pont helyzetét.

Ezen az ábrán P pont helyzete 7.

A síkban már két változó kell ahhoz, hogy megadjuk egy pont helyzetét. Gyerekként biztos te is játszottál a Torpedó nevű játékkal. Itt egy betűt és egy számot kell mondani, hogy megtaláljuk ellenfelünk hajóit. Ez is egy koordinátarendszer, két koordináta (egy betű és egy szám) egyértelműen meghatározza a pálya akármelyik pontját.

Torpedó játék, ahol 2 koordináta bemondásával lőhetünk az ellenfél hajóira

Ha megnézed a földrajz atlaszod, vagy egy turistatérképet, akkor ott a térképek szélén is fogsz látni számokat és betűket (vagy hosszúsági- és szélességifokokat), amik segítík a tájékozódást. A térben való tájékozódáshoz már 3 koordináta szükséges. Ezzel nehezebb matek- és fizikafeladatokban találkozhatsz.

Hogyan épül fel egy derékszögű koordinátarendszer?

Általános iskolában és középiskolában a derékszögű koordinátarendszerrel találkozol a legtöbbet. A síkban való tájékozódáshoz használjuk a derékszögű koordinátarendszert, aminek a segítségével egy sík pontjainak a helyét pontosan meg tudjuk határozni. Ehhez szükségünk van két egymásra merőleges számegyenesre (ezért hívjuk derékszögű koordinátarendszernek), amik a nulla pontban metszik egymást. Ez a metszéspont kitüntetett, a neve origo. A két tengely 4 darab egymástól jól elkülöníthető részre osztja a síkot. Ezeknek a részeknek a neve síknegyed. Az alábbi ábra megmutatja, melyik az első, második, harmadik és negyedik síknegyed. 

Melyik az x tengely és y tengely? Mit határoznak meg?

A derékszögű koordinátarendszerben a vízszintes tengelyt nevezzük x tengelynek, a függőlegest pedig y tengelynek. A sík minden pontját le tudjuk írni két szám (két koordináta) segítségével. Az ábrán látható P pont koordinátái ( 2 ; 3 ). Az első koordináta, a 2 azt jelenti, hogy a P pont 2 egység távolságra van az y tengelytől. A második koordinátája, a 3 pedig azt jelenti, hogy a P 3 egység távolságra van az x tengelytől. A távolság negatív is lehet, azaz előjeles távolságokat vizsgálunk. Tehát a P pont első koordinátája 2, a második koordinátája 3. Ezt röviden, és szemléletesen így jelöljük: P ( 2 ; 3 ).
Ha négyzetrácsban gondolkodunk, akkor az origóból indulva kettőt lépünk jobbra, hármat fel, így kapjuk meg P ( 2 ; 3 ) pontot. Ha az első szám negatív, akkor balra indulunk, ha a második szám negatív, akkor pedig lefelé megyünk.

Az ábrán jelöltük még A pontot, aminek a koordinátái ugyanazok, mint P pont koordinátái, csak fordított sorrendben. Azaz: A ( 3 ; 2 ). Látható, hogy ennek az A pontnak a helye máshol van a koordinátarendszerben, mint P pontnak. Tehát számít a koordináták sorrendje. Összegezve elmondhatjuk, hogy a sík minden pontját egyértleműen meghatározza egy rendezett számpár (a rendezett számpár azt jelenti, hogy figyelembevesszük az első és második koordináta sorrendjét). Az origo koordinátái ( 0 ; 0 ).
Nagyon fontos, hogyha ábrát készítesz, akkor mindig jelöld, hogy melyik az x tengely és melyik az y tengely. Előfordulhat, hogy találkozol olyan tankönyvvel, amiben az x tengelyt egyes tengelynek, az y tengelyt pedig kettes tengelynek nevezi.

Még többet szeretnél megtudni az alapokról? Csatlakozz hozzánk és kérd az ingyenes próbaidőszakot!

 

Évvégi Jegyjavító Kihívás

Jobb jegy év végére? NANÁ!

Csatlakozz az Évvégi Jegyjavító Kihíváshoz, javíts a jegyeiden, és szállj versenybe a nyereményekért!

NYERNI AKAROK

Mi az x tengely egyenlete? Mi az y tengelyé?

11. osztályban megtanulod a koordináta-geometria alapjait és szépségeit. Többek között tanulsz arról, hogy a síkbeli derékszögű koordinátarendszerben elhelyezkedő alakzatoknak (például: egyenes, kör, parabola) van egyenletük. Ahogy korábban írtuk az x tengely és y tengely számegyenesek, ezért nekünk az egyenes egyenletére lesz szükségünk. Ennek a definíciója a következő:

Definíció: A síkbeli derékszögű koordinátarendszerben az egyenes egyenlete egy olyan két ismeretlenes egyenlet, amelyet csak azoknak a P (x ; y ) pontnak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek az egyenesre.

Ha úgy érzed hiányosságaid vannak, vagy csak bővebben érdekel a téma, akkor nézd meg az Egyenes egyenlete tananyagunkat! Ha logikusan végig gondoljuk, akkor egyértelmű, hogy 

Az x tengely egyenlete: y = 0, hiszen azok a pontok vannak rajta az x tengelyen, amiknek az második, azaz az y koordinátája 0.

Az y tengely egyenlete: x= 0, hiszen azok a pontok vannak rajta az y tengelyen, amiknek az első, azaz az x koordinátája 0.

X tengellyel kapcsolatos feladatok

1. feladat (5. osztálytól): Melyik síknegyedben vannak a következő pontok? A(-2 ; 3); B(-3 ; -3); C(4 ; -1); D (1 ; -2)

Megoldás: Ha már sok feladatot megoldottál, akkor biztos ábrakészítés nélkül is meg tudod oldani ezt a példát. Mi most készítettünk egy ábrát, hogy szemléletessen megmutassuk a megoldást

Az A pont a II. síknegyedben van.
A B pont a III. síknegyedben van.
A C pont a IV. síknegyedben van.
A D pont a IV. síknegyedben van.

2. feladat (5. osztálytól): Egy négyzet 2 szomszédos csúcsa: A (1 ; 1); B ( 5 ; 1). Add meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! Hány megoldás van? (5. osztálytól)

Megoldás: Remélem te is megtaláltad mind a két megoldást!

 A és B csúcsok koordinátáiból vagy, ha ábrázoltad a pontokat kiderült, hogy a négyzet oldalainak a hossza 4 egység hosszú. Adott tehát a négyzet egyik oldala, ezt érdemes ábrázolni. Az ábrát tudjuk felfelé és feleé is folytatni. Ha felfelé folytatjuk, akkor a négyzet másik két csúcsa: C (1 ; 5) és D (5 ; 5). Ha lefelé egészítjük ki az ábrát, akkor E (1 ; -3) és F (5 ; -3). Más megoldás nincs.

3. feladat (11. osztály és érettségi): Adja meg a 3x + 2y =18 egyenletű egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit!

Megoldás: Az adott egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátái meghatározásához fel kell írni az y tengely egyenletét (hiszen az is egy egyenes).

Majd az így kapott két egyenes egyenletét egyenletrendszerként megoldva megkapjuk a két egyenes keresett metszéspontjának koordinátáit.

Az y tengely egyenlete: x = 0 Egyenletrendszer:

3x + 2y = 18
x = 0
Ha x = 0 -t behelyettesítjük az 1. egyenletbe: 2y = 18 , ebből y = 9.

A keresett metszéspont koordinátái M (0 ; 9).

Elolvasom

Háromszög területe – képlet

Tanuld meg egyszerűen kiszámolni a háromszög területét! Képletek és példák általános, derékszögű, szabályos, egyenlő szárú háromszögekre. Nézd meg most!