Hatványozás fogalma | Hatványozás szabályai | Hatványozás azonosságai

Azonos alapú hatványok szorzása

·

Azonos alapú hatványok osztása

:

Hatvány hatványozása
 

(
)

A hatványozás ugyanúgy egy matematikai művelet, mint az összeadás vagy a kivonás. Ha jól ismered a szabályokat, azonosságokat, akkor rengeteg időt spórolhatsz meg feladatmegoldás közben. Nézzük, mit kell tudni a hatványozásról előbb általános iskolai, majd középiskolás szinten!

Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok

380 ingyenes tananyag!

 

Mi a hatvány, hatványozás fogalma? 

Ha sokszor össze kell adnunk egy számot önmagával, akkor az ismételt összeadást szorzással helyettesíthetjük.

Például: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 ∙ 4 = 24 

Hasonlóan: ha sokszor össze kell szoroznunk egy számot önmagával, akkor az ismételt szorzás helyett bevezethetjük a hatványozás műveletét.

Például: 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 46 = 4096.

46 tehát egy 6 tényezőből álló szorzat, melynek minden tényezője 4. Ezt négy hatodik hatványának, vagy röviden négy a hatodikonnak hívjuk.

Elnevezések: 4 a hatványalap, azaz az ismétlődő szorzótényező, 6 pedig a hatványkitevő, ez mutatja meg, hogy hányszor ismétlődik a hatványalap a szorzatban. A 4096 megnevezése hatványérték. 

hatványozás alap kitevő hatványérték

Egy szám második hatványának külön elnevezése is van, 32 hatványt nevezhetjük „3 a másodikon”-nak vagy „3 a négyzeten”-nek.
Az elnevezés onnan származik, hogy egy 3 egység oldalú négyzet területe 32  területegység.

Egy szám harmadik hatványának is van külön elnevezése. a 43 számot 4 köbének nevezzük.

További példák:

 65 = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 7776;

123 = 12 ∙ 12 ∙ 12 = 1728

ÉRETTSÉGI INGYENES HÉTVÉGE​​​​​​​

Október 10-13-ig!
csütörtöktől-vasárnapig

ÉLEK A LEHETŐSÉGGEL

Milyen hatványműveletek vannak? Mik a hatványozás szabályai? 

A kitevő lehet 0 és 1 is

Ekkor nyilván nem beszélhetünk 0 illetve 1 tényezős szorzatról, de megállapodás szerint bármely szám nulladik hatványa 1. FONTOS kivétel a 0, mert a „nulla a nulladikon” ( 00 ) kifejezést nem értelmezzük!

Például: 50 = 1;   (- 435)0 = 1.

Tetszőleges szám első hatványa önmaga.

Például: 31 = 3;    5131 = 513;     a1 = a.

Mit jelent, ha a hatvány alapja 0?

Ha a hatványalap 0, akkor a hatványérték minden esetben 0, hatványkitevőtől függetlenül (kivéve, ahogy már írtuk  00 , mert azt nem értelmezzük).

Például: 03 = 0;          074653487 = 0

Negatív alapú hatványokat hogy számolhatunk ki?

A negatív számok hatványozása ugyanúgy ismételt szorzást jelent, mint a pozitív számoknál.

Például:

(-2)4 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = 16;

(-3)3 = (-3) ∙ (-3) ∙ (-3) = -27;

(-4)3 = (-4) ∙ (-4) ∙ (-4) = -64

Mivel két negatív szám szorzata mindig pozitív, ezért páros darabszámú negatív szám szorzata is pozitív, és így páros kitevőjű hatványok esetén a hatványérték pozitív lesz. Amikor páratlan a kitevő, akkor a végeredmény negatív lesz.

Nézz bele ebbe az interaktív tananyagba, ha szeretnéd megismerni és begyakorolni a hatványozás alapjait!

Milyen azonosságai vannak a hatványozásnak?

Hatványok szorzását, osztását és hatvány hatványozását is egyszerűbben végezhetjük el, ha ismerjük a következő azonosságokat. Azonban fontos tudni, hogy ezek mindig azonos alapú hatványokra vonatkoznak, valamint, hogy hatványok összegére és különbségére nincsenek ilyen azonosságok!

Azonos alapú hatványok szorzása

Azonos alapú hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.

Például:
5∙ 57 = (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = 5(3+7) = 510

42 ⋅ 43 ⋅ 42 = (4 ⋅ 4) ⋅ (4 ⋅ 4 ⋅ 4) ⋅ ( 4 ⋅ 4) = 4(2+3+2) = 47

Emiatt a szabály miatt kell, hogy bármely szám nulladik hatványa 1 legyen, hiszen például:
24 ∙ 20 = 24 + 0 = 24

kocka térfogat hatvány

A kocka térfogatát is azonos alapú hatványok szorzásával kapjuk meg: V = a ⋅ a ⋅ a = a3

Azonos alapú hatványok osztása

Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük.

Például:

7 to the power of 6 over 7 to the power of 4 equals fraction numerator 7 times 7 times 7 times 7 times 7 times 7 over denominator 7 times 7 times 7 times 7 times end fraction equals 7 times 7 equals 7 to the power of 6 minus 4 end exponent equals 7 squared

Hatvány hatványozása

Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a hatványok szorzatára emeljük.

Például:

(52 )4 = 52 ⋅ 52 ⋅52 ⋅ 52 =
=(5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5) = 5(2∙4) = 58

Különböző alapú, de azonos kitevőjű hatványokra is vannak azonosságok, amik egyszerűsíthetik a számolásainkat.

Azonos kitevőjű hatványok szorzása

Azonos kitevőjű hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük.

Például: 23 ∙ 43 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (4 ∙ 4 ∙ 4) =

= 2 ∙ 4 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 2 ∙ 4 =(2 ∙ 4) ∙ (2 ∙ 4) ∙ (2 ∙ 4) =

= (2 ∙ 4)3 = 83

Visszafelé ez a szabály: Szorzatot úgy is hatványozhatunk, hogy a tényezők hatványait összeszorozzuk.

Például: (2 ∙ 4)3 = 23 ∙ 43

Azonos kitevőjű hatványok osztása

Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát a közös kitevőre emeljük.

Például:

4 cubed over 2 cubed equals fraction numerator 4 times 4 times 4 over denominator 2 times 2 times 2 end fraction equals 4 over 2 times 4 over 2 times 4 over 2 equals open parentheses 4 over 2 close parentheses cubed equals 8

Visszafelé ez a szabály: Törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót és a nevezőt külön hatványozzuk, majd vesszük ezek hányadosát.

Például:

open parentheses 4 over 2 close parentheses cubed equals 4 cubed over 2 cubed

hatványozás

Hatványozás középiskolai szinten:

Középiskolában a fentieket már készségszinten kell tudni, erre alapozva jöhetnek a további ismeretek. A hatványozást megtanuljuk negatív kitevőre, majd törtkitevőre is.

Hogyan értelmezzük egy szám negatív kitevőjű hatványát?

Negatív kitevőjű hatvány nem jelent mást, mint az ellentett, pozitív kitevőjű hatvány reciprokát

Például:

6 to the power of negative 5 end exponent equals 1 over 6 to the power of 5 semicolon space space space space a to the power of negative 4 end exponent equals 1 over a to the power of 4

Általánosan:

a to the power of negative k end exponent equals 1 over a to the power of k

Azért értelmezzük így a negatív kitevőjű hatványt, hogy minden fenti azonosság érvényes maradjon.

További példák:
negatív hatványkitevőt reciprokként értelmezzük

Nagyon fontos, hogy pozitív számok negatív kitevőjű hatványa pozitív! Nézd meg ezt a tananyagot, ha negatív kitevőkkel is gyakorolnál.

Ha a kitevő törtszám

Az x pozitív szám a/b-edik hatványa az x alap a-adik hatványának b-edik gyöke, azaz x to the power of a over b end exponent equals b-th root of x to the power of a end root

Például:

64 to the power of 1 half end exponent equals square root of 64 equals 8 semicolon space space 2 to the power of 3 over 2 end exponent equals square root of 2 cubed end root equals square root of 8
16 to the power of 5 over 2 end exponent equals square root of 16 to the power of 5 end root equals 1024

Ha a kitevő negatív törtszám, akkor reciprokot kell venni ugyanúgy, mint negatív egész kitevő esetén. 

Például:

125 to the power of negative 1 third end exponent equals open parentheses cube root of 125 close parentheses to the power of negative 1 end exponent equals 5 to the power of negative 1 end exponent equals 1 fifth

2401 to the power of negative 3 over 4 end exponent equals open parentheses fourth root of 2401 close parentheses to the power of negative 3 end exponent equals 7 to the power of negative 3 end exponent equals 1 over 343​​​​​​​

A hatványozás azonosságai negatív és törtkitevő esetén is érvényesek!

Például:

2 to the power of 1 half end exponent times 2 to the power of negative 3 end exponent times 2 to the power of 6 equals 2 to the power of open parentheses 1 half plus left parenthesis negative 3 right parenthesis plus 6 close parentheses end exponent equals 2 to the power of 7 over 2 end exponent

Ha más számokkal is megnéznéd ezeket az összefüggéseket, akkor kattints ide.

Dancsó Imre
Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár

Elolvasom Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

2024. május 27.

Mi az egészrész fogalma? Mi a törtrész fogalma? Mit kell tudni az egészrész függvényről? Mit kell tudni a törtrész függvényről?

Függvények ábrázolása
2024. május 27.

Szinusztétel bizonyítása
2024. február 21.
Thálesz-tétel bizonyítása
2024. február 21.
Végtelen tizedes törtek
2022. október 28.

ÉRETTSÉGI INGYENES HÉTVÉGE​​​​​​​

Október 10-13-ig!
csütörtöktől-vasárnapig

ÉLEK A LEHETŐSÉGGEL