Kettes számrendszer alapok | Átváltás a kettes és a tízes számrendszer között | Feladatok, műveletek

A következő kérdést, egy ötödikes diákunk anyukája küldte nekünk.

Kérdés: Egy ötödikesnek hogyan lehet elmagyarázni a kettes számrendszerből való átváltást a tízes számrendszerre, illetve a tízes számrendszerből való átváltást a kettesre. Órán valamilyen ágrajz formájában bontották a számokat, de nem érti a lányom.

Válasz részletesen

Sokkal egyszerűbb számrendszerekről beszélni azoknak, akik már tanulták a hatványozást. Ha Te már tanultad, akkor a Számrendszerek című tananyagunkkal mindent gyorsan megtanulhatsz és be is gyakorolhatsz. Ha még nem tanultad a hatványozást, akkor ebben a cikkben összefoglaljuk a legfontosabb tudnivalókat.

S.O.S. SEGÍTSÉG MATEKBÓL!

Dolgozatra készülsz? Elakadtál?

PRÉMIUM matek holnap estig INGYEN!

Mi az a kettes számrendszer?

A kettes számrendszer nem jelenik meg látható módon a mindennapi életünkben, ezért elsőre sokaknak idegen és nehezen megérthető. A hétköznapi életben, és a matematikaórán is a tízes számrendszert használunk. A tízes számrendszerben tízféle számjegyet használunk (0 ; 1 ; 2 ; ... 9).  Minden számrendszerben  annyi számjegyet használunk, ahányas a számrendszer. A kettes számrendszerben 2 számjegyet használunk, ami a 0 és az 1. (Számítástechnikában gyakran használnak tizenhatos számrendszert, ahol a 10 számjegy mellet az ABC első hat beűtjével jelölnek számokat.)

Pontosan fogalmazva kettes számrendszernek nevezzük a kettes csoportosításon alapuló rendszert. Ha egy számot kettes számrendszerben írunk, akkor ezt jelölni is kell úgy, hogy a szám jobb alsó sarkába odaírunk egy kis kettest: 

kettes számrendszer jelölés

Erre azért van szükség, mert a tízes számrendszerben például a 1101 nem ugyanazt a számot jelenti, mint a kettes számrendszerben írt 11012. Ezt a kettes számrendszerbeli számot úgy mondjuk ki, hogy egy-egy-nulla-egy.

A kettes csoportosítás, amit fentebb írtunk annyit jelent, hogy 2 darab tesz ki egy kettes csoportot. Ezt folytatva azt kapjuk, hogy két kettes csoport tesz ki egy négyes csoportot, két négyes csoport, egy nyolcast és így tovább. Ennek az átváltásnál lesz fontos szerepe. 

Még nincs regisztrációd az oldalon? Csatlakozz hozzánk és nézd meg az ingyenes tananyagainkat!

Regisztrálok a Matek Oázisba!

Kettes számrendszer átváltása: hogyan működik?

Általános iskolában és gimnáziumban nem sok lecke foglalkozik már a számrendszerekkel. Ha mégis, akkor leggyakrabban az a feladat fordul elő, hogy egy tízes számrendszerbeli számot váltsunk át kettes számrendszerbeli alakba, vagy fordítva. Megnézzük részletesen és érthetően az oda-vissza utat.

Kettes számrendszer átváltása tízes számrendszerre

A tízes számrendszerben a helyiértékek: egyesek, tízesek, százasok, ezresek... (1 = 100; 10 = 1 · 10; 100 = 10 · 10; 1000 = 10 · 10 · 10), mert egy helyiértéken 10-féle dolgot tudunk jelölni.
A Helyiérték című tananyagunkban mindent megtudhatsz erről!

Ennek megfelelően a kettes számrendszerben a helyiértékek: egyesek, kettesek, négyesek (2 · 2); nyolcasok (2 · 2 ·2 ); tizenhatosok... stb.

1. példa: Az 1 1 0 1 2 kettes számrendszerben azt jelenti, hogy van benne 1 nyolcas, 1 négyes, 0 kettes, és 1 egyes: ez tehát a 13-nak felel meg. Érdemes a számjegyek alá beírni a helyiértéküket, akkor gyorsan összeadható! Ezt láthatod ezen az ábrán:

kettes számrendszer helyiérték

2. példa: Az 1 0 0 1 1 2 kettes számrendszerben azt jelenti, hogy van benne 1 tizenhatos,0 nyolcas, 0 négyes, 1 kettes, és 1 egyes: ez azt jelenti, hogy a tízesszámrendszerben ez a szám a 19.

Kettes számrendszer helyiérték

Tízes számrendszer átváltása kettes számrendszerre

Nézzük meg először az első példát "visszafelé".

1. Példa: Írjuk fel a 13-at kettes számrendszerben!

Megoldás: Tízes számrendszerbeli számot úgy váltunk kettes számrendszerbeli számra, hogy  kettővel kell mindig osztanunk, és a maradékokat leírni, az fogja megadni a számjegyeket:
13 : 2 = 6, maradt 1
6 : 2 =  3, maradt 0
3 : 2 = 1, maradt 1
1 : 2 = 0, maradt 1  
A hátsó oszlopot visszafelé (alulról felfelé) olvasva kapjuk a számot a kettes számrendszerben:
1 1 0 1 2 

2. példa: Írjuk fel kettes számrendszerben a 2391-et!

Megoldás: Ugyanúgy kettővel osztunk végig, és lejegyezzük a maradékokat.
2391 : 2 = 1195 maradt 1
1195 : 2 = 597 maradt 1
597 : 2 = 298 maradt 1
298 : 2 = 149 maradt 0
149: 2 = 74 maradt 1
74 : 2 = 37 maradt 0
37 : 2 = 18 maradt 1
18: 2 = 9 maradt 0
9 : 2 = 4 maradt 1
4 : 2 = 2 maradt 0
2 : 2 = 1 maradt 0
1 : 2 = 0 maradt 1 

A 2391 kettes számrendszerbeli alakját úgy kapjuk meg most is, hogy a jobb oldali maradékos oszlopot visszafelé olvassuk: 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2

Sok iskolában a gyerekek ezt a módszert írják le fa formájában (az osztásokat nem írják ki, csak az osztás eredményét alulra, a maradékot oldalra (avagy fordítva, ez ízlés dolga), és így oldalt (vagy lent) visszafelé összeolvasható a szám. Ez egyébként a 10-es számrendszerben is működik (csak felesleges): Például:
8754:10=875, maradt 4
875:10 = 87, maradt 5
87:10 = 8, maradt 7,
8:10 = 0, maradt 8. Visszafelé olvasva: 8754.

Feladatok kettes számrendszerben

Általános iskolában és középiskolában sem foglalkozik sok feladat a számrendszerekkel (még emelt szintű érettségiben sincsenek ilyen példák). Érdekesség gyanánt megmutatjuk, hogyan lehet a négy alapműveltet elvégezni kettes számrendszerben. Egy régi trükk, hogy a műveletek elvégzése előtt mindent átváltunk tízes számrendszerbe és ott elvégezzük a műveletet, majd az eredményt visszaváltjuk kettes számrendszerbeli alakra. Aki szeretné megspórolni ezeket az átváltásokat, annak a következőket kell tudnia.

Összeadás kettes számrendszerben

A kettes számrendszer legkönnyebb művelete az összeadás. Ugyanúgy gondolkodunk, mint tízes számrendszer esetén. Néhány kombinációt kell megjegyeznünk, ezeket a következők: 

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (1 átvitel keletkezik)
1 átvitellel: 1 + 0 = 0 (1 átvitel keletkezik)
1 átvitellel: 1 + 1 = 1 (1 átvitel keletkezik)

Ami elsőre nehéz az az átvitel kezelése. A tízes számrendszerben 1 + 1 = 2, ezt a kettes számrendszerben két számjeggyel tudjuk jelölni, így 1 + 1 = 0, és egy egységet át kell vinni balra. Ha továbbviszünk egy egységet és egy 1 + 1-es összeadás következik, akkor vigyázzunk, mert utána további egy egységet viszünk tovább! Mutatunk két konkrét példát, így könnyen meg tudod érteni.

kettes számrendszer összeadás     kettes számrendszer összeadás

Kivonás kettes számrendszerben

Kivonás esetén is vannak kombinációk, de ezek egészen mások, mint összeadás esetén. Ezt a feladatot érdemes a számítógépekre bízni, mert előfordulhat úgynevezett túlcsordulás, és ilyenkor néhány számjegyet el kell hagyni. Emellett van a klasszikus módszer: átváltjuk a számokat tízes számrendszerbe és kivonás után visszaváltjuk az eredményt. 

Szorzás kettes számrendszerben

A szorzás kombinációi a következők: 

0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1

Ha ezeket a kombinációkat tudjuk, akkor már meg is tanultunk szorozni kettes számrendszerben. Minden ugyanúgy működik, mint tízes számrendszerben, arra kell figyelnünk, hogy összeadásnál szem előtt tartsuk az előbb megtanult összeadás szabályt.

kettes számrendszer szorzás

Osztás kettes számrendszerben

Az osztás kettes számrendszerben szintén egy bonyolult művelet, írásban nem szoktuk elvégezni. Érdekesség, hogy a számítógépek sem tudják mindig kiszámolni a pontos értéket. Ha átváltod a számokat tízes számrendszerbe, akkor gyorsan meg fogod tudni csinálni az osztást és vissza tudod váltani az eredményt kettes számrendszerbe.

S.O.S. SEGÍTSÉG MATEKBÓL!

Dolgozatra készülsz? Elakadtál?

PRÉMIUM matek holnap estig INGYEN!

Dancsó Imre
Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár

Elolvasom A törtek összeadása és kivonása egyszerűen

A törtek összeadása és kivonása egyszerűen

2022. szeptember 19.

Hogyan kell a törteket összeadni? Hogyan kell a vegyes törteteket összeadni egymással, kivonni egymásból?

Szöveges logikai feladatok
2022. július 22.
A Pitagorasz-tétel egyszerűen
2022. április 10.