Zérushely

Ezen a matematikai oktatóvideón a fontosabb függvénytípusokat vesszük sorra: lineáris függvények, másodfokú függvények, hatványfüggvények, abszolútérték-függvény, négyzetgyökfüggvény, és a törtfüggvények. Hogyan kell ábrázolni ezeket a függvényeket? Mi jellemzi őket szélsőérték, monotonitás, zérushely szempontjából, páros vagy páratlan-e a függvény.

Ebben a videóban a 2008-as matematika érettségi első részének feladatait boncolgatjuk. Egy nyílt intervallummal indult a feladatsor, aztán kombinatorika, majd valószínűségszámítási feladat következett. Egyenes arányossággal kellett megoldani a 4. példát,majd egy másodfokú függvény zérushelyeit keresni. Egy abszolútérték-függvény is szerepelt, vektorok is voltak, és négyszögekkel kapcsolatos állítások, majd egy szám reciprokát kellett kiszámolni. Számtani sorozat, algebrai tört és még halmazok is szerepeltek a kérdések között.

6. tétel: A logaritmus fogalma és azonosságai. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény. Az inverzfüggvény. A logaritmus fogalmát definiáljuk, majd a logaritmus műveletének azonosságairól, az exponenciális a és a logaritmusfüggvényről fogunk beszélni, végül a függvények inverzéről, azok képzéséről. A logaritmus definíciója, tulajdonságai. logab az a valós szám, amelyre az a-t emelve b -t kapjuk. a,b > 0, és a nem 1 (Részletesen indokoljuk, hogy miért kellenek ezek a kikötések) Másképpen úgy is mondhatjuk, hogy az logab = c és az ac = b ekvivalens állítások. A 10-es alapú logaritmust lg-vel, a természetes, vagyis e alapú logaritmust ln-nel jelöljük. Melyek a logaritmus azonosságai? A logaritmus műveletének azonosságai közül az első a szorzat logaritmusára vonatkozik: Szorzat logaritmusa a tényezők logaritmusának összege, visszafelé úgy is mondhatjuk, hogy azonos alapú logaritmusokat úgy adunk össze, hogy az argumendumokat összeszorozzuk. A tételt bizonyítjuk is a videón. További logaritmus azonosságok:. Hányados logaritmusa a számláló és a nevező logaritmusának különbsége. Ha pedig egy hatványnak vesszük a logaritmusát, akkor az nem más, mint az alap logaritmusának és a kitevőnek a szorzata. Ilyenkor a kitevőt, mint szorzótényezőt a logaritmus elé írjuk. Egy logaritmusos kifejezést más alapra is átírhatunk, az ismert összefüggés alapján. Ezt az azonosságot is bebizonyítjuk. Mit kell elmondani az exponenciális függvényekről? Exponenciális függvénynek nevezzük azt a valós számok halmazáról leképező függvényt, amely az x-hez az ax -et rendeli, ahol az a egy pozitív valós szám. Ha a függvény grafikonját szeretnénk megrajzolni, akkor két esetet kell megkülönböztetnünk az alaptól függően: Ha az alap 0 és 1 közötti, akkor az ax grafikonja szigorúan monoton csökken, ha pedig 1-nél nagyobb, akkor szigorúan monoton nő. Amennyiben az alap 1, a konstans 1 függvényről van szó. Mindkét esetben az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, az értékkészlet pedig a pozitív valós számok halmaza. Közös tulajdonsága az ax típusú exponenciális függvényeknek, hogy grafikonjuk áthalad a ( 0; 1) ponton, hiszen bármely pozitív szám nulladik hatványa 1. Szélsőértékük nincs, felülről nem korlátosak, tehát nem korlátosak. Konvex függvények, zérushelyük nincs. Nem párosak és nem is páratlanok. Ezek a függvények a folytonosság miatt differenciálhatók és integrálhatók is. A logaritmus függvényeknek mi a közük az exponenciális függvényekhez? A logaritmus függvény a megfelelő exponenciális függvény inverze, a pozitív valós számok halmazáról képez le a valós számok halmazára, x-hez annak a alapú logaritmusát rendeli. Ha a logaritmus alapja 1-nél nagyobb szám, akkor a függvény szigorúan monoton nő, ha 0 és 1 közötti szám, akkor szigorúan monoton csökken. Negatív alapot és 1-es alapot nem értelmezünk logaritmus esetén. Értelmezési tartomány a pozitív számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza. Zérushelyük van x=1-nél. Szélsőértékük nincs, sem alulról, sem felülről nem korlátosak. Ha az alap 1-nél nagyobb, a függvény konkáv, ha 0 és 1 közötti, akkor konvex. Nem párosak és nem is páratlanok. A függvények a folytonosság miatt differenciálhatók és integrálhatók is. Mit jelent az inverz függvény? Az f függvény inverze az f -1 ha az f értelmezési tartományának minden x elemére igaz, hogy f(x) eleme a f -1 értelmezési tartományának és f -1 (f(x)) = x. Ha az f és az f -1 függvények egymásnak inverzei, akkor az f értelmezési tartománya az f -1 értékkészlete, az f értékkészlete azf -1 értelmezési tartománya. Az f és az f -1 akkor grafikonjai tengelyesen tükrösek az y = x egyenletű egyenesre nézve. Megnézünk néhány példát az inverz függvényre a videón. Például inverze egymásnak a négyzetgyök függvény és az x2 függvény a megfelelő értelmezési tartomány mellett, vagy az f(x) = 3x és az 1/3 x is. Algebrai úton általában könnyen megkaphatjuk egy függvény inverzének hozzárendelési szabályát. Kitérünk még arra is, hogy az exponenciális és logaritmusos kifejezésekkel hol találkozhatunk, illetve az exponenciális, logaritmusos egyenletek megoldása milyen hétköznapi, v. műszaki problémák megoldásánál fontos. Említünk matematikatörténeti vonatkozásokat is.

7. tétel: Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek. Másodfokúra visszavezethető egyenletek. Egyenletek ekvivalenciája, gyökvesztés, hamis gyök, ellenőrzés. Megmutatjuk a teljes kidolgozott tételt, úgy, ahogyan a vizsgán elmondhatod. Közben látni fogod, hogy mit érdemes a táblára írni. A videó második felében segítünk, hogy gyorsan meg is tudd tanulni a tételt. Mi az egyenlet, mit jelent az egyenlet alaphalmaza, értelmezési tartománya, illetve az egyenlet megoldásai? Ha két algebrai kifejezést egyenlőségjellel kapcsolunk össze, egyenletet kapunk. Az egyenlet leírásában egy vagy több változó szerepel. Az egyenlet megoldása során a változónak vagy változóknak azokat az értékeit keressük meg, amelyekre az egyenlet igaz logikai értéket vesz fel. Ez(ek) az egyenlet megoldásai vagy gyökei Minden egyenletnek van egy alaphalmaza, és ennek egy részhalmaza az értelmezési tartomány. Az értelmezési tartomány az alaphalmaznak azon legbővebb részhalmaza, amelyen az egyenletben szereplő összes algebrai kifejezés értelmezve van. Amennyiben nem adunk meg mást, a valós számok halmazát tekintjük alaphalmaznak. Ha az értelmezési tartomány minden elemére igaz lesz az egyenlet, akkor azt mondjuk, hogy az az egyenlet azonosság. Ha egyetlen értelmezési tartománybeli elemre sem igaz az egyenlet, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Egy másik megközelítés szerint az egyenlet mindkét oldala egy-egy függvény hozzárendelési szabálya. Az egyenlet megoldása során pedig azokat az értelmezéstartománybeli -eket keressük, amelyekre a két függvény felvett függvényértéke megegyezik. Amennyiben grafikus úton oldjuk meg az egyenletet, a két függvény metszéspontjának vagy metszéspontjainak koordinátája lesz a keresett megoldás. Melyek a másodfokú egyenletek, és hogyan oldjuk meg őket? A másodfokú egyenletek kanonikus, vagy nullára rendezett alakja: ax2 + bx + c = 0 alakú, ahol a, b és c valós paraméterek. Ők az úgynevezett együtthatók, x pedig a változó. Az a értéke nem lehet 0, hiszen akkor nem lenne x2 -es tag, tehát az egyenlet nem lenne másodfokú. Tétel: ax2 + bx + c = 0 alakú, (a nem 0) másodfokú egyenlet megoldásait az x1,2 =…. (másodfokú egyenlet megoldóképlete) képlettel kaphatjuk meg. A bizonyítás lépéseit a videón láthatod. A másodfokú egyenlet megoldásainak a száma a diszkriminánstól függ. A diszkrimináns a megoldóképletben a gyök alatt látható kifejezés. Ha D < 0, nincs valós gyök, ha D = 0, két egybeeső valós gyök van, ha D > 0, két különböző valós gyök van. Feladat: x2 + 6x + 8 = 0 egyenletet megoldjuk a megoldóképlettel. Hogyan kell megoldani paraméteres másodfokú egyenleteket? Paraméteres másodfokú egyenletek esetén gyakran a paramétert a gyökök számára vagy tulajdonságára megadott adat alapján kell meghatározni. Példa: px2 + 4x + p = 0 egyenletben p a paraméter, x az ismeretlen. Ha pl. az a kérdés, hogy a p paraméter milyen értékei mellett lesz egy megoldása ennek az egyenletnek, akkor ezt a diszkrimináns vizsgálatával lehet megválaszolni. D = 0 -ból kapunk p-re egy összefüggést, annak a megoldásait kell keresni. Gyökök és együtthatók közötti összefüggések felírása, gyöktényezős alak, Viete-formulák. Ha az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenletnek létezik valós gyöke, akkor a másodfokú kifejezés elsőfokú tényezők szorzatára bontható a gyöktényezős alak segítségével. ax2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x2 ) A Viete-formulák a gyökök és együtthatók közt teremtenek kapcsolatot: x1 + x2 = -b/a ; és x1*x2 = c/a A Viete-formulákat és a gyöktényezős alakot is könnyen igazolhatjuk, ha az x1 -re és x2 -re kapott megoldóképletet behelyettesítjük az összefüggésekbe. A Viete-formulák és a gyöktényezős alak is számos feladat megoldását könnyíti meg. Például nem negatív diszkrimináns esetén szorzat alakba tudjuk írni a másodfokú számlálót vagy nevezőt, így egyszerűsíteni tudunk az azonos tényezőkkel. A másodfokú egyenlőtlenség megoldásának lépései. Ha másodfokú egyenlőtlenséget akarunk megoldani, akkor általában grafikus módon fejezzük be a feladatmegoldást, miután a megoldóképlettel a gyököket meghatároztuk. A másodfokú hozzárendelés képe parabola, a kiszámított gyökök a parabola zérushelyei. Két egybeeső valós gyök esetén a parabola érinti az x tengelyt, ha nincs valós gyök, akkor pedig a másodfokú kifejezés minden x-re pozitív vagy minden x-re negatív értéket vesz fel. A parabola ábrázolása után az egyenlőtlenség megoldásai leolvashatók a garfikonról. Melyek a másodfokúra visszavezethető egyenletek és hogyan oldjunk meg őket? Ha egy kifejezés és ugyanannak a kifejezésnek a négyzete szerepel az egyenletben, akkor az adott kifejezésre érdemes új ismeretlent bevezetünk. Mert így az új ismeretlenre nézve lesz másodfokú az egyenlet vagy az egyenlőtlenség. Ezek az egyenletek, egyenlőtlenségek eredeti formájukban lehetnek például magasabb fokúak, logaritmusosok, trigonometrikusak vagy akár összetettebb algebrai kifejezésre nézve másodfokúak. Megnézünk néhány példát is. Mikor ekvivalens az egyenlet átalakítása? Mikor fordulhat elő gyökvesztés illetve hamis gyök? Miért és mikor kell ellenőrizni az egyenlet megoldását? Nagyon fontos, hogy az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásánál mindig figyeljük, hogy ekvivalens, vagy nem ekvivalens a végrehajtott lépés, vagyis azt, hogy a lépések következtében az újabb és újabb egyenlet ekvivalens-e az előző lépésben szereplő egyenlettel. Két egyenlet akkor ugyanaz, ha értelmezési tartomány a és megoldáshalmaza is ugyanaz. Ekvivalens átalakításokra és nem ekvivalensekre is mutatunk példákat. Ha az átalakítás során megváltozik az egyenlet értelmezési tartománya, gyököt veszíthetünk, de akár hamis gyökök is jöhetnek be. A hamis gyököket lehet kizárni ellenőrzéssel. A másodfokú egyenletek, összefüggések alkalmazására mutatunk példákat a tétel végén.

Meghatározzuk a függvény definícióját, az alaphalmazt és a képhalmazt.

Meghatározzuk a zérushelyet, a szélsőértéket, a maximum- és minimum helyet (értéket). Megrajzoljuk a függvény grafikonját. A függvények tulajdonságaival foglalkozunk, ez a függvényjellemzés. Mi az értékkészlete, az értelmezési tartománya a függvénynek, csökkenő vagy növekvő a függvény?

Ez a videó további függvényekkel kapcsolatos ismeretek gyakorlására szolgál. Négyzetgyök-függvény, törtfüggvény. A függvények jellemzését gyakorolhatod ezekkel a feladatokkal. Értelmezési tartomány és értékkészlet, zérushely, növekedés-fogyás (csökkenés), valamint a szélsőértékek (minimum és maximum), sőt: páros és páratlan függvény. Mindegyikkel tisztában vagy, mit jelent?

Az egészrész és törtrész-függvény ábrázolását, a függvények jellemzését gyakorolhatod ezekkel a feladatokkal. Értelmezési tartomány és értékkészlet, zérushely, növekedés-fogyás (csökkenés), valamint a szélsőértékek (minimum és maximum), sőt: páros és páratlan függvény. Mindegyikkel tisztában vagy, mit jelent?