Négyzetgyök

Egy nemnegatív valós a (a ≥ 0) szám négyzetgyöke jelenti azt a nemnegatív számot, aminek a négyzete a. Jele: square root of a

square root of a times square root of a equals open parentheses square root of a close parentheses squared equals a

square root of a greater or equal than 0

(Azaz lefordítva: csak 0, vagy annál nagyobb számból lehet gyököt vonni, és a gyökvonás eredménye is 0, vagy annál nagyobb szám lesz. A gyökvonás a négyzetre-emelés "fordított" művelete: Pl. 4-nek a gyöke 2, mert a 2 az a szám, amit négyztere emelve 4-et kapunk   : 22 = 4, emiatt  square root of 4 equals 2 )

négyzetgyök definíció

További példák: square root of 9 equals 3 ; square root of 2 comma 25 end root equals 1 comma 5

Feladatok gyökvonással:

1. feladat: Végezzük el a következő műveleteket!
a) square root of 25 times square root of 16
b) fraction numerator square root of 400 over denominator square root of 100 end fraction
c) open parentheses square root of 169 plus square root of 81 close parentheses times square root of 64

Megoldás:
a) 
square root of 25 times square root of 16 equals 5 times 4 equals 20
b) fraction numerator square root of 400 over denominator square root of 100 end fraction equals 20 over 10 equals 2
c) open parentheses square root of 169 plus square root of 81 close parentheses times square root of 64 equals left parenthesis 13 plus 9 right parenthesis times 8 equals 22 times 8 equals 176

2. feladat: Egy derékszögű háromszög egyik átfogója a = 5 cm, a másik átfogója b = 12 cm. Milyen hosszú az átfogó?

Megoldás: Felírjuk a Pitagorasz-tétel:

a squared plus b squared equals c squared  Behelyettesítünk.

5 squared plus 12 squared equals c squared  Összevonunk.

169 equals c squared  Mindkét oldalból gyököt vonunk.

square root of 169 equals c

13 equals c

A derékszögű háromszög átfogója 13 cm hosszú.

A következő Matek Oázis videókkal tanulhatsz a négyzetgyökről

2006. május, I. rész / 5-12. feladat
Négyzetgyökvonás
Négyzetgyökvonás
5. Hatványozás, gyökvonás ...

5. Hatványozás, gyökvonás ...

5. tétel : Hatványozás és a hatványfogalom kiterjesztése, a hatványozás azonosságai. Az n-edik gyök fogalma. A négyzetgyök azonosságai. Hatványfüggvények és a négyzetgyökfüggvény. A tétel kifejtésében először a pozitív egész kitevős hatványozásról, a művelet azonosságairól szeretnék beszélni, majd a hatványozás kiterjesztéséről először negatív egészekre, végül a valós számokra. Majd a hatványozás műveletének inverzéről, a gyökvonásról beszélek, a négyzetgyök azonosságairól, hatványfüggvényekről és négyzetgyökfüggvényről, végül ezek jellemző tulajdonságairól. Mi a hatványozás, hogyan értelmezzük pozitív egész számokra? A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése Amennyiben az a pozitív egész szám, az an pontosan n db azonos, a-val jelölt szám szorzata. n = 1 esetén nem beszélhetünk szorzatról, definíció szerint minden szám első hatványa önmaga. A hatványozás azonosságai. Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk össze, hogy az alap változatlan, ezt a kitevők összegére kell emelni. Azonos alapú hatványok hányadosa is velük azonos alapú hatvány lesz, a kitevőt pedig úgy kapjuk, hogy a számláló kitevőjééből kivonjuk a nevező kitevőjét. Ezek az azonosságok könynen igazolhatók a definíció alapján, a videón megmutatjuk, hogyan. A következő azonosság is hasonlóan bizonyítható, hatvány hatványozásakor a kitevők összeszorzódnak. Különböző alapú, de azonos kitevőjű hatványokkal is végezhetünk műveleteket. Ha összeszorozzuk őket, akkor megtehetjük, hogy először az alapokat összeszorozzuk, és csak utána hatványozzuk a szorzatot. Ez egyben azt is jelenti visszafelé, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ugyanígy a törtek esetében is a tört hatványa nem más, mint a számláló és a nevező megfelelő hatványának hányadosa. Mit jelent a negatív egész kitevőjű hatvány? A permanencia-elv alapján amennyiben nem a nullát hatványozzuk, bármely szám nulladik hatványát 1-nek definiáljuk. A negatív kitevőt is tudjuk értelmezni, tetszőleges nem nulla valós alap és n pozitív kitevő esetén az lesz. Hogyan értelmezzük, amikor racionális és irracionális szám van a hatvány kitevőjében? Egy a pozitív szám n/m-edik hatványa alatt azt a valós számot értjük, amelyet m. hatványra emelve az a n. hatványát kapjuk. Irracionális kitevőjű hatványt pedig azonos alapú, de racionális kitevős hatványok sorozatának határértékeként fogjuk fel. Igazolhatjuk, hogy az irracionális kitevős hatvány, mint határérték létezik, az azonosságok ugyanúgy érvényben maradnak. A gyökvonás műveletének definíciója. A gyökvonás a megfelelő értelmezési tartomány mellett a hatványozás inverz művelete. Egy nem negatív valós szám 2k-adik, azaz páros gyöke alatt azt a nemnegatív valós számot értjük, amelyet 2k-adik hatványra emelve az a nem negatív valós számot kapjuk vissza. A 2k+1-edik gyök műveletét valós számokon tudjuk végezni, 2k+1-edik gyöke egy valós számnak az a szám lesz, amelyet 2k+1. hatványra emelve az a számot kapjuk vissza. Fontos kapcsolat van a racionális törtkitevő és a gyökvonás között: n-edik gyök ( am) = an/m megfelelő értelmezési tartomány mellett, m pozitív egész szám. Racionális kitevő esetén nem értelmezzük, ha az alap negatív szám, hiszen akkor az m. gyök műveletének elvégzésénél problémák adódhatnának. A négyzetgyök és a köbgyök a két leggyakrabban alkalmazott művelet. A az a nemnegatív valós szám, amelyet önmagával megszorozva az a számot kapjuk vissza. A gyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető, ugyanez a helyzet akkor, ha negatív számról és páratlan gyökről van szó. Viszont ha a valós számok halmazán először emelünk páros kitevőre, majd ugyanennyiedik gyököt is vonunk, akkor a szám abszolútértékét kapjuk meg, nem negatív számok esetén magát a számot, negatív számok esetén pedig az ellentettjüket. A gyökvonás azonosságait ismertetjük. Az a és b nem negatív valós számok. Szorzatuk négyzetgyöke egyenlő a tényezők négyzetgyökének szorzatával. A tétel bizonyítását a videón részletezzük. További azonosságok: a nem negatív és pozitív valós számok estén a hányadosuk négyzetgyöke egyenlő a négyzetgyökeik hányadosával. Nem negatív alap esetén a hatványozás és a négyzetgyökvonás felcserélhető művelet, természetesen a 0 a nulladikon nincs értelmezve. A hatványfüggvényeket, és a tulajdonságaikat nézzük végig. Hatványfüggvénynek nevezzük azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya a valós számok halmaza, a függvény x-hez az x n-edik hatványát rendeli hozzá, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Páros n-ek esetén a függvények grafikonja parabola alakú, egyre nagyobb hatvány esetén a parabola egyre szűkebb. Páratlan n-ek esetén pedig egy ilyen szép ívelt görbét kapunk, mivel negatív x-ek esetén a páratlan hatvány negatív lesz. A függvények jellemzésére is kitérünk, értékkészlet, páros/páratlan tulajdonság, monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság szempontjai alapján. Megnézzük azt is, hogyan változnak transzformált függvények esetén a függvény tulajdonságai. Mit kell tudni a négyzetgyökfüggvényről és tulajdonságairól? A négyzetgyökfüggvény a nemnegatív valós számok halmazáról képez le valós számokhalmazára, x-hez annak négyzetgyökét rendeli. Grafikonja egy fél fektetett parabola. A nemnegatív számok halmazán ez a függvény az függvény inverze. Értelmelmezési tartománya és értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. További szempontok a függvényjellemzéshez: monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság. A hatványozás és a gyökvonás rengeteg helyen kap szerepet a feladatok megoldásában. Egyenletekben, geometriában, térgeometriában, Hasonlósági feladatok, egyéb geometriai számítások esetén gyakran kell hatványozni vagy gyököt vonni. Ugyanakkor a kamatos kamat számításnál, mértani sorozatoknál, számrendszerek, vagy akár a mértékváltás esetén is fontos.

Négyzetgyök - azonosságok
Négyzetgyök - gyakorlás
Négyzetgyökös egyenletek
Négyzetgyök (ismétlés) 2.
Négyzetgyök (ismétlés) 1.
Négyzetgyökös egyenletek 2.
Négyzetgyökös egyenletek 1.
Négyzetgyökfüggvény, törtfüggvény
Négyzetgyökvonás - gyakorlás és gyöktelenítés
Négyzetgyökvonás azonosságai
Négyzetgyök
Négyzetgyökös egyenletek, emelt szint
Négyzetgyökös egyenletek 2.
Négyzetgyökös egyenletek 1.