Középpontos hasonlósági transzformáció

Addot egy O  pont és egy λ (≠ 0) valós szám. A tér minden P pontjához rendeljünk hozzá egy P' pontot úgy, hogy 
- ha P = O, akkor P = P'
- ha P ≠ O, akkor P' az OP egyenes azon pontja, amelyre teljesül, hogy OP' = | λ | · OP,  és ha λ > 0. akkor  P' az OP félegyenes pontja, ha λ <0, akkor az O pont P és P' között van.

A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai

- Ha λ ≠ 1, akkor a transzformáció egyetlen fixpontja az O középpont

- Bármely, az O középpontra nem illeszkedő egyenes képe az eredetivel párhuzamos, O-ra nem illeszkedő egyenes.

- A középpontos hasonlósági transzformáció szögtartó

- Ha az arány λ, akkor bármely AB szakasz képe az eredeti AB szakasz hosszának λ-szorosa.

- Ha λ =1, akkor a transzformáció egybevágóság, ha λ = -1, akkor középpontos tükrözés. 

- A transzformáció irányítástartó.

Példa a középpontos hasonlósági transzformáció gyakorlásához

1. feladat: (2021. októberi érettségi 16/c) Egy háromszög csúcsai a koordináta-rendszerben: A(5 ; 6), B(4 ; 2) és C(8 ; 2). Az ABC háromszöget a B pontból középpontosan a kétszeresére nagyítjuk, így az A’B’C’ háromszöget kapjuk.
Adjuk meg az A’B’C’ háromszög csúcsainak koordinátáit!

Megoldás: Mivel a B pontból nagyítunk, ezért a B' megegyezik az eredeti B csúccsal, azaz B' (4 ; 2).

Ahhoz, hogy az eredeti háromszögben B pontból eljussunk C pontba, 4-et kellett jobbra lépnünk, és nullát fel. Mivel kétszeresére nyújtjuk a háromszöget, ezért C'-höz nyolcat (2 · 4) kell jobbra lépnünk, és nullát (2 · 0) fel. Így C'(12 ; 2).

Hasonlóan kapjuk A' koordinátáit is. A pontba úgy jutottunk B-ből, hogy 1-et jobbra 4-et fel. A'-höz úgy jutunk, hogy 2 · 1-e lépünk jobbra, és 2 · 4-et fel, így A' (6 ; 10).

(Vektorokkal elegánsabb a levezetés, ha már tanultál róluk : BC vektort kétszeresére nyújtva kajuk BC'-t, és hasonlóan BA vektort kétszeresére nyújtva kajuk BA'-t.)