Képlet/Fogalom: Integrálási szabályok

Legyenek f (x) és g (x) függvények, a, b, c, C pedig valós számok.

$integral c times f left parenthesis x right parenthesis space d x equals c times integral f left parenthesis x right parenthesis space d x$ A konstans szorzó kivihető az integrál jel elé.

$integral f left parenthesis x right parenthesis plus-or-minus g left parenthesis x right parenthesis space d x equals integral f left parenthesis x right parenthesis d x plus-or-minus integral g left parenthesis x right parenthesis d x$ Összeget és különbséget tagonként is integrálhatunk.

$integral f left parenthesis x right parenthesis times g apostrophe left parenthesis x right parenthesis d x equals f left parenthesis x right parenthesis times g left parenthesis x right parenthesis minus integral f apostrophe left parenthesis x right parenthesis times g left parenthesis x right parenthesis d x$ Parciális integrálás szabálya.

$integral f to the power of n left parenthesis x right parenthesis times f apostrophe left parenthesis x right parenthesis d x equals fraction numerator f to the power of n plus 1 end exponent left parenthesis x right parenthesis over denominator n plus 1 end fraction plus C$

$integral fraction numerator f apostrophe left parenthesis x right parenthesis over denominator f left parenthesis x right parenthesis end fraction d x equals ln open parentheses open vertical bar f left parenthesis x right parenthesis close vertical bar close parentheses plus C$

Az Analízis Matek Oázis tananyagokban megtanulhatod az integrálás alapjait.

Példák az integrálás szabályainak alkalmazására

Feladat: Végezzük el a következő integrálásokat!

$a right parenthesis space integral fraction numerator 1 over denominator x times cube root of ln open parentheses x close parentheses end root end fraction d x b right parenthesis integral fraction numerator x over denominator x squared minus 4 end fraction d x$

Megoldás: Kezdjünk az a) résszel. Kicsit átalakítjuk az egyenlet, így:

$integral fraction numerator 1 over denominator x times cube root of ln open parentheses x close parentheses end root end fraction d x equals integral 1 over x times 1 over open parentheses ln x close parentheses to the power of begin display style 1 third end style end exponent d x equals integral ln open parentheses x close parentheses to the power of negative 1 third end exponent times 1 over x d x$

Mivel $ln open parentheses x close parentheses$ deriváltja $1 over x$ , ezért észrevesszük, hogy egy $integral f to the power of n left parenthesis x right parenthesis times f apostrophe left parenthesis x right parenthesis d x$ típusú integrálásunk van. A szabály alapján:

$integral ln open parentheses x close parentheses to the power of negative 1 third end exponent times 1 over x d x equals fraction numerator ln open parentheses x close parentheses to the power of begin display style 2 over 3 end style end exponent over denominator begin display style 2 over 3 end style end fraction plus C$

A b) részben majdnem egy $integral fraction numerator f apostrophe left parenthesis x right parenthesis over denominator f left parenthesis x right parenthesis end fraction d x$ tipúsú integrálásunk van. Csupán a számlálóba kéne egy kettes szorzó. Ezért szorozzuk a törtet 2-vel és az integrálon kívül osztjuk is 2-vel, így az értéke nem változik.

$integral fraction numerator x over denominator x squared minus 4 end fraction d x equals 1 half times integral fraction numerator 2 times x over denominator x squared minus 4 end fraction d x$ . Most használjuk az azonosságot, így:

$1 half times integral fraction numerator 2 times x over denominator x squared minus 4 end fraction d x equals 1 half times ln open parentheses open vertical bar x squared minus 4 close vertical bar close parentheses plus C$

ÜRES A KOSARAM

NEM VAGY BEJELENTKEZVE.
LÉPJ BE VAGY REGISZTRÁLJ!

Integrálási szabályok

Példák az integrálás szabályainak alkalmazására

A következő Matek Oázis videókkal tanulhatsz az integrálási szabályokról

Integrálás, alapintegrálok