Matematika 12. osztály

Logika, kombinatorika, gráfok

• 01. Logika

  a) Matematikai logika alapjai

  Tananyag   | Kezdés »

  Matematikai logika alapjai. Megmutatjuk, mik a logikában az állítások, és hogyan kell tagadni az állítást. Ez a negáció művelete. Megismerkedünk a művelet igazságtáblájával. Kétváltozós logikai műveletek: és, vagy, illetve a kizáró vagy (konjunkció, diszjunkció, antivalencia). Ha két logikai állítást az "és" illetve a "vagy" kötőszóval kapcsolunk össze, egy új állítást kapunk. Megnézzük ezeknek az új állításoknak az igazságtábláját. Kitérünk arra is, hogy a "kizáró vagy" miben különbözik a "megengedő vagy"-tól. Feladatokat oldunk meg logikai állításokkal.

  b) Matematikai logika alapjai - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Matematikai logika, kétváltozó logikai műveletek. Ebben a tananyagban gyakoroljuk, amit azt előző videón tanultunk. Feladatokat oldunk meg logikai állításokkal.

  c) Logika 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További matematikai logikai műveletek. Implikáció:. A "ha A, akkor B" típusú állításokat, vagyis ha az A állításból következik a B állítás, ezt implikációnak nevezzük. Ez is egy logikai művelet a két állítással, fel tudjuk írni az igazságtábláját. Ilyenkor az A állítás elégséges feltétele a B-nek, B pedig szükséges feltétele az A-nak. Megfordítható állítások. Az implikációk, tehát a "ha A, akkor B" típusú állítások megfordítása: "ha B, akkor A". Az implikációk megfordítása nem feltétlenül igaz. Azokat az implikációkat, amiknek a megfordítása is igaz, megfordítható állításoknak nevezzük. Ilyenkor A szükséges és elégséges feltétele a B-nek (és fordítva is) Mindez a videón meglátod, nem is olyan bonyolult :)

  d) Nehezebb logikai műveletek - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Implikáció és megfordítható állítások gyakorlása. Gyakoroljuk, amit eddig tanultunk a matematikai logikából.

• 02. Kombinatorika

  a) Permutációk

  Tananyag   | Kezdés »

  Az első fontos kombinatorikai fogalom, amivel megismerkedünk a permutáció, azaz sorbarendezés. Gyakorló feladatokon keresztül ismerkedünk meg a fogalommal, megbeszéljük a legfontosabb tulajdonságokat. 

  b) Variációk

  Tananyag   | Kezdés »

  A kombináció fogalmával folytatjuk a kombinatorikát. Feladatokon keresztül megismerjük a kombinációkat, megtanuljuk a legfontosabb tulajdonságokat.

  c) Kombinációk

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A kombinatorika témát a kombinációk tárgyalásával folytatjuk. Feladatokon keresztül megismerjük, felfedezzük a kombináció fogalmát.

  d) Kombinatorika - vegyes feladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a tananyagban feladatokban gyakoroljuk, amit a permutációkról, variációkról és kombinációkról tanultunk.

  e) Gyakorlás Kombinatorika

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorlófeladatok önálló megoldására hívunk a kombinatorika témaköréből: Hányféle sorrend/megoldás lehetséges? Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 03. Gráfok

  a) Gráfok - alapok

  Tananyag   | Kezdés »

  Ez a matematikai oktatóvideó a gráfokkal kapcsolatos középszintű ismereteket veszi sorra. Pontok, élek, fokszámok, gráfok rajzolása.

  b) Gráfok - teljes gráf

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megismerkedünk a teljes gráfokkal, és megoldunk néhány gyakorlófeladatot.

  c) Gráfok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Ellenőrizd a tudásod! Rajzolj gráfokat, állapítsd meg, hogy lehet-e adott fokszámú gráfot rajzolni, számítsd ki a teljes gráf éleinek számát, szemléltesd gráfokkal a szöveges feladatokat.

Térgeometria (részletesen)

• 04. Bevezető anyagok:

  a) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben - fogalmak

  Tananyag   | Kezdés »

  A szögfüggvények ismerete nagyon fontos a geometriai számításokban. Derékszögű háromszögek hiányzó adatait a szinusz (sin), koszinusz (cos), tangens (tg), kotangens (ctg) szögfüggvények segítségével könnyedén kiszámíthatjuk. Nézd át mindezt ezen az interaktív oktatóvideón!

  b) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben - gyakorlás

  Tananyag   | Kezdés »

  Gyakorold velünk a sin, cos, tg, ctg szögfüggvények használatát! Megmutatjuk azt is, hogy milyen alakzatokban találkozhatsz derékszögű háromszögekkel.

  c) Szögfüggvények alkalmazása 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik. Sorra vesszük a nevezetes (30, 45, 60 fokos) szögek szögfüggvényeit. Alkalmazzuk a szögfüggvényeket sík-és térgeometriai feladatokban.

  d) Szögfüggvények alkalmazása 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik. További sík-és térgeometriai feladatokkal gyakorolhatsz a trigonometria témakörében.

  e) Szögfüggvények és alkalmazásuk

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Trigonometria teszt: gyakorold a szögfüggvények alkalmazását! Feladatok, melyek megoldásával letesztelheted mennyire sikerült elsajátítanod a szögfüggvényekről tanultakat. Keresd meg a rajzokon a derékszögű háromszögeket, és írd fel a szögek szögfüggvényeit!  

  f) Síkidomok területe, kerülete

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Átismételjük azokat a síkgeometriai ismereteket, amelyekre az érettségin szükséged lesz: Háromszögek területe; Négyszögek (négyzet, téglalap, paralelogramma, trapéz, deltoid, rombusz) területe; A kör és a körcikk területe

• 05. Kocka, téglatest, hasábok, hengerek

  a) Kocka, téglatest jellemzői

  Tananyag   | Kezdés »

  A kocka és a téglatest tulajdonságai; A kocka és a téglatest felszíne, térfogata.

  b) Kocka, téglatest - feladatok

  Tananyag   | Kezdés »

  Feladatok a kocka és téglatest felszínének, térfogatának kiszámításához.

  c) Hasábok

  Tananyag   | INGYENES használathoz regisztrálj ITT

  Hasábok, egyenes hasáb tulajdonságai, felszíne, térfogata; Feladatok szabáloys sokszög alapú hasábok felszín és térfogat számításának gyakorlásához

  d) Hasábok - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További feladatok hasábok felszín és térfogat számításának gyakorlásához.

  e) Hasábok felszíne, térfogata

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Hasábok. Tedd próbára a tudásod! Számold ki a téglatest, kocka és különböző alapú hasábok felszínét és térfogatát! Az értékelés után láthatod a részletes megoldásokat.

  f) Hengerek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az egyenes henger tulajdonságai, felszíne és térfogata; Feladatok a henger alakú testek felszín és térfogat kiszámításának gyakorlásához

  g) Hengerek felszíne, térfogata

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Hengerek. Teszteld a tudásod! Számítsd ki a hengerek felszínét és térfogatát! Az értékelés után láthatod a részletes megoldásokat!

• 06. Gúlák, kúpok, gömb

  a) Gúlák

  Tananyag   | Kezdés »

  A gúla tulajdonságai; felszíne és térfogata; Tetraéder, négyoldalú, ötoldalú gúla; Szabályos gúlák, szabályos testek.

  b) Gúlák - Bevezető feladat

  Tananyag   | Kezdés »

  Gúlákkal kapcsolatos geometriai feladatokat oldunuk meg interaktívan, közösen gondolkodva.

  c) Gúlák - gyakorlás 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Feladatok: Határozd meg a gúla oldallapjainak meredekségét! Mekkora a tetraéder felszíne és térfogata?

  d) Gúlák - gyakorlás 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Feladatok: Mekkora szöget zárnak be a szabályos hatoldalú gúla oldallapjai az alaplappal? Határozd meg a felszínét és térfogatát is!

  e) Kúpok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A kúp tulajdonságai. Hogyan kaphatunk egyenes körkúpot? Megmutatjuk, hogy milyen összefüggések vannak a kúp alkotója, magassága és az alapkör sugara között, megtanuljuk kiszámítani a kúp felszínét, térfogatát és kúp palástjával is megismerkedünk.

  f) Kúpok - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A kúp tulajdonságai. Feladatokkal gyakoroljuk a kúp felszínének és térfogatának kiszámítását.

  g) Csonkagúla, csonkakúp

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A csonkagúla, csonkakúp tulajdonságai felszíne, térfogata; Feladatok a csonkagúla és a csonkakúp térfogat és felszínszámítás gyakorlásához.

  h) Csonkagúla, csonkakúp - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További feladatok a csonkagúla és a csonkakúp térfogat és felszínszámítás gyakorlásához.

  i) Gúlák és kúpok - számolási feladatok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Mennyire ismered a gúlákat, kúpokat? Teszteld magad! Ki tudod számolni a gúlák, kúpok felszínét és térfogatát vagy a kúp nyílásszögét, és palástjának területét? Az értékelés után megtalálod a részletes megoldásokat.

  j) Gömb

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A gömb fogalma, tulajdonságai, felszíne, térfogata; A gömb síkmetszetei; Főkör; Feladatok: Mekkora térfogatú a 20 cm átmérőjű strandlabdában lévő levegő? Milyen hosszú a földgömb mintájú labdán a Ráktérítő?

Sorozatok (részletesen)

• 07. Sorozatokról általánosan, számtani sorozatok

  a) Sorozatokról általánosan

  Tananyag   | Kezdés »

  A sorozatok megadása. A sorozatokat megadhatjuk rekurzív módon, vagy akár képlettel is, megismerkedünk néhány rekurzív sorozattal. Hogy ez mit is jelent tulajdonképpen, a videóból kiderül.

  b) Számtani sorozat I.

  Tananyag   | Kezdés »

  Mitől számtani egy sorozat? Az egymás után következő elemek különbsége mindig ugyanannyi. Meghatározzuk a számtani sorozat n-edik elemét és az első n elem összegét.

  c) Számtani sorozat II.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Feladat számtani sorozatra: Hány hely van a színházban az utolsó sorban? Hány hely van a nézőtéren összesen? A számtani sorozat összegképlete

  d) Számtani sorozat III.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Újabb feladatok a számtani sorozatokról tanultak gyakorlásához: Mennyi a pozitív háromjegyű páratlan számok összege? Mennyi a pozitív kétjegyű, 4-gyel osztható számok összege?

  e) Számtani sorozatok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Feladatok, melyekkel gyakorolhatod a számtani sorozat n-edik tagjának, a sorozat differenciájának, és a sorozat tagjainak összeg meghatározását.

• 08. Mértani sorozatok

  a) Mértani sorozatok I.

  Tananyag   | Kezdés »

  Mitől lesz egy sorozat mértani sorozat? Példák mértani sorozatra; A mértani sorozat hányadosa (kvóciense), n-edik tagja; A mértani sorozat első n tagjának összege

  b) Mértani sorozatok II.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Feladatok mértani sorozat gyakorlásához: Egy mértani sorozat harmadik tagja 12, negyedik tagja pedig -10. Mennyi a sorozat hányadosa és az első tagja?

  c) Mértani sorozatok III.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Mértani sorozatok gyakorlása. További két mértani sorozatos feladat vár rád: Milyen vastag lesz egy tízszer összehajtott papírlap? Hogy alakul a cég növekedése?

  d) Mértani sorozatok, kamatos kamat

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Feladatok mértani sorozat és kamatos kamat számítás gyakorlásához. Számold ki a mértani sorozat n-edik elemét, az első n tag összegét, vagy ha ezek meg vannak adva, akkor abból megkaphatod az első elemet és a hányadost. Ha bankba teszed a pénzedet mennyit kapsz vissza néhány év múlva?

• 09. Pénzügyi feladatok

  a) Pénzügyi feladatok 1. (Alapok)

  Tananyag   | Kezdés »

  Megismerkedünk a pénzügyi feladatok alapfogalmaival, és röviden átismételjük, amire itt a százalékszámításból szükséged lesz.

  b) Pénzügyi feladatok 2. (kamatos kamat)

  Tananyag   | Kezdés »

  Ha pénzedet beteszed a bankba, a hozzáadódó kamatot is bent hagyod és együtt kamatozik tovább, végül kamatos kamatot kapsz rá. Mennyi pénzt kapsz végül, mennyi időre és mennyi pénzt tegyél a bankba, hogy a célodat elért? Ezekre a válaszolunk.

  c) Pénzügyi feladatok 3. (Kamatos kamat, nehezebb feladatok)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Többféle befektetés közül kiválasztjuk a legkedvezőbbet, és megnézzük, hogy hogyan kell számolni értékcsökkenés esetén.

  d) Pénzügyi feladatok 4. (Gyűjtőjáradék)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A gyűjtőjáradék, amikor rendszeresen beteszünk egy összeget a bankba, az ott kamatozik és csak a végén vesszük fel a teljes összeget.

  e) Pénzügyi feladatok 5. (Gyűjtőjáradék gyakorlása)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További feladatokat oldunk meg a gyűjtőjáradékkal kapcsolatban.

  f) Pénzügyi feladatok 6. (Hitel, törlesztőrészlet)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ha hitelt veszünk fel a banktól, vissza kell fizetnünk a hitel összegét és a kamatokat is. Amikor részletekben fizetjük vissza, a fennmaradó tartozásra számolják fel kamatot. Ezzel kapcsolatot feladatokat oldunk meg.

Statisztika és valószínűségszámítás

• 10. Valószínűségszámítás

  a) Valószínűségszámítás (Klasszikus valószínűségi modell)

  Tananyag   | Kezdés »

  Ebben a matek tananyagban a valószínűségszámítás rejtelmeibe vezetünk be. Megtanulhatod, hogyan kell alkalmazni a klasszikus valószínűségi modellt, és mik a független események.

  b) Valószínűségszámítás (Komplementer esemény, visszatevés)

  Tananyag   | Kezdés »

  Ebben a matek tananyagban a valószínűségszámítás rejtelmeibe vezetünk be. Megismerkedhetsz a visszatevéses mintavétellel és a komplementer eseményekkel.

  c) Geometriai valószínűség I.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A valószínűség kiszámításának geometriai modellje. A geometriai valószínűség azt méri, hogy egy esemény bekövetkezése milyen valószínű az események geometriai tulajdonságai alapján, például terület vagy hossz mértéke alapján. Geometriai valószínűség. Egy egyszerű példa a geometriai valószínűségre az, amikor egy kört véletlenszerűen választanak ki egy téglalap belsejéből. A kör valószínűsége, hogy az adott téglalap területén belül esik, arányos a kört tartalmazó terület méretéhez.

  d) Geometriai valószínűség II.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Geometriai valószínűség feladatok. Ebben a tananyagban további feladatokat oldunk meg a geometriai valószínűség témaköréből.

  e) Valószínűségszámítás - Gyakorló feladatok 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A valószínűségszámítás nagyon fajsúlyos helyet kapott a középszintű érettségi feladatsorokban. Ezért fontos, hogy Te is tisztában legyél azzal, hogyan is kell ilyen valószínűségeket kiszámítani. Az alapfogalmak megismerése után ezen a videón gyakorolhatod, hogyan kell kiszámítania kedvező esetek számát, az összes esetet, és ezekből meghatározni a valószínűséget.

  f) Valószínűségszámítás - Gyakorló feladatok 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A valószínűségszámítás nagyon fajsúlyos helyet kapott a középszintű érettségi feladatsorokban. Ezért fontos, hogy Te is tisztában legyél azzal, hogyan is kell ilyen valószínűségeket kiszámítani. Ezen a videón további feladatokkal gyakorolhatod, hogyan kell kiszámítania kedvező esetek számát, az összes esetet, és ezekből meghatározni a valószínűséget.

  g) Valószínűségszámítás - Gyakorló feladatok 3.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Még néhány feladat, amivel gyakorolhatod, hogyan kell kiszámítania kedvező esetek számát, az összes esetet, és ezekből meghatározni a valószínűséget.

  h) Valószínűségszámítás - Mintavétel visszatevés nélkül

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az új követelményekben a mintavételek valószínűsége külön hangsúlyosan szerepel. Ebben a videóban ezt könnyen megtanulhatod, részletesen kitérünk a visszatevés nélküli mintavételre.

  i) Valószínűségszámítás - Mintavétel visszatevéssel

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az új követelményekben a mintavételek valószínűsége külön hangsúlyosan szerepel. Ebben a videóban ezt könnyen megtanulhatod, részletesen kitérünk a visszatevéses mintavételre is, valamint a binomiális eloszlásra. Találsz olyan mintavételtől független feladatokat is, ahol alkalmazhatók ezek az ismeretek.

  j) Valószínűségszámítás alapjai, eseményalgebra

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ezen a videón a valószínűségszámítás alapjaival ismerkedhetsz meg. A klasszikus valószínűségi modellel, az alkalmazásával, egy kis eseményalgebrával, események összegének és szorzatának valószínűségével.

  k) Valószínűségszámítás - komplementer események

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Folytatjuk a valószínűségszámítás gyakorlását a komplementer események valószínűségével. Példák és gyakorlófeladatok teszik lehetővé, hogy ellenőrizd magadat.

  l) Gyakorlás Valószínűségszámítás

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Önálló munkára hívunk. Feladatok megoldásával gyakorolhatod a valószínűségszámításból szerzett ismereteidet, tudásodat. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 11. Statisztika

  a) Átlag, medián, módusz, osztályba sorolás - alapfogalmak

  Tananyag   | Kezdés »

  A középszintű statisztikai ismeretek alapfogalmaival ismerkedhetsz meg ezen a videón: hogyan kell meghatározni az átlagot, mediánt, móduszt (a statisztikai középértékeket), és példákon gyakorolhatod is ezeket. Megmutatjuk, mit jelent az osztályba sorolás, és hogyan lehet bánni az osztályba sorolt adatokkal.

  b) Átlag, medián, módusz, osztályba sorolás - gyakorlás

  Tananyag   | Kezdés »

  Gyakoroljunk mindent, amit a statisztika alapfogalmairól tanultunk. Sok interaktív példán keresztül válhatsz a téma mesterévé. 

  c) Terjedelem, átlagos abszolút eltérés és szórás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban a középszinten előforduló statisztikai alapfogalmakkal ismerkedhetsz meg. Mi az adathalmaz terjedelme, mi is az az átlagos abszolút eltérés, mivel egyenlő a szórásnégyzet, és végül, hogyan számítjuk ki a szórást.

  d) Kvartilisek, sodrófa diagram

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Kvartilisek. Megismerkedünk az alsó- és felső kvartilis fogalmával. Interaktívan tanulhatod meg, hogyan oldj meg olyan statisztika feladatot, amiben kvartilisek szerepelnek. Box-plot diagram vagy sodrófa diagram. Megtanuljuk, hogyan készítsünk adott adatsokasághoz box-plot, azaz sodrófa diagramot. 

  e) Kvartilisek, sodrófa diagram - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További feladatok a kvartilisek és a sodrófa vagy boxplot diagram gyakorlásához.

  f) Grafikonok értelmezése

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban megnézzük, mi mindent lehet leolvasni egy grafikonról. Hogyan lehet értelmezni a kördiagramokat, oszlopdiagramokat, mi a különbség az oszlop és a sávdiagram között? Hogyan kell kiszámolni adatokat a grafikon alapján? Mindezt sok példán gyakorolhatod is.

  g) Grafikonok (diagramok) készítése

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ezen az interaktív oktatóvideón összefoglaljuk mindazt, amit középszinten tudni a grafikonok készítéséről. Hogyan kell oszlopdiagramot készíteni, mennyiben más a sávdiagram, és mi a titka a kördiagramok készítésének.

  h) Statisztika

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Ebben a tesztben olyan feladatok találsz, melyekkel gyakorolhatod az átlag, módusz, medián, terjedelem, szórás kiszámítását, diagramkészítést és adatok leolvasását diagramról.

  i) Statisztika

  Játék   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  JÁTÉK! Győzd le a sárkányokat és gyakorold a statisztika alapfogalmait! Egyszerű számokból álló adathalmazoknak határozd meg az átlagát, terjedelmét, móduszát vagy éppen a mediánját! A végre biztosan jól fogod tudni, melyik kifejezés mit jelent, és hogyan lehet kiszámolni.