2. tétel: Racionális és irracionális számok. Műveletek a racionális és irracionális számok halmazán. Közönséges törtek és tizedes törtek. Halmazok számossága.

Tanuld meg a racionális és irracionális számok fogalmát, a műveletek tulajdonságait. Segítünk megtanulni, hogyan bizonyítsd be, hogy a gyök 2 irracionális szám, és mit kell elmondanod a tizedestörtekről, törtekről.

Mik azok a racionális és irracionális számok?

Racionális számoknak azokat a számokat nevezzük, amelyek felírhatók két egész számhányadosaként.

Az irracionális számok azok a számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként.

A valós számok halmaza nem más, mint ennek a két diszjunkt halmaznak az uniója. A valós számok halmaza és a valós számegyenes pontjai közt kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létezik.

Ha például a nulla pontnál egységnyi oldalhosszúságú négyzetet szerkesztünk a 0-tól 1-ig tartó szakasz fölé, akkor ennek a négyzetnek az átlója, ami gyök2 hosszúságú, kijelöli a számegyenesen négyzetgyök 2 helyét.

Tétel: 2 négyzetgyöke irracionális szám. A tételt indirekt bizonyítási módszerrel bizonyítjuk.

Műveletek a racionális és irracionális számok halmazán.

A racionális számok halmaza zárt a négy alapműveletre nézve. Ez azt jelenti, hogy két racionális szám összege, különbsége, szorzata és hányadosa is racionális. Természetesen osztás esetén az osztó nem lehet nulla, a 0-val való osztást nem értelmezzük.

Mivel a racionális számok esetén létezik közönséges tört alak, ezért elegendő ilyen alakra megnézni a műveleteket. Eredményként mindig racionális számot kapunk, hiszen a kapott tört számlálója is és nevezője is egész szám, mivel az egész számok halmaza is zárt a négy alapműveletre.

Két közönséges törtet úgy szorzunk össze, hogy a számlálót a számlálóval, nevezőt pedig a nevezővel szorozzuk. A számláló és a nevező is egész szám lesz, tehát a szorzás eredményeként szintén racionális számot kapunk.

Közönséges törttel pedig úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk. Az előzőekhez hasonlóan most is racionális számot kapunk hányadosként.

Milyen tulajdonságai vannak ezeknek a műveleteknek?

Az összeadás és a szorzás művelete kommutatív, tehát összeadásnál a tagok, szorzás esetén a tényezők felcserélhetők.

Ez a két művelet asszociatív is, tehát csoportosítva is elvégezhetjük őket.

A szorzás művelete disztributív az összeadásra (és a kivonásra), tehát egy zárójeles összeg tagjait tagonként is beszorozhatjuk.

Milyen tizedes törtek vannak? Melyek a racionális számok közülük?

A véges tizedes törteket nagyon könnyű meghatározni két egész szám hányadosaként, hiszen az egészrészt és a törtrészt is fel tudjuk írni közönséges tört alakban. Természetesen így nem mindig kapjuk a legegyszerűbb alakot, azt akkor kapjuk meg, ha egyszerűsítünk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójával.

A végtelen szakaszos tizedes törtek szintén átírhatók közönséges tört alakba. Ennek egyszerű, elemi módja is van, és végtelen mértani sorok összegképletének segítségével is meghatározható a közönséges tört alak.

A végtelen nem szakaszos tizedes törtek irracionális számok. Vannak olyan irracionális számok, amelyeket kiemelt szerepük miatt betűvel is eljelöltek, ilyen például a vagy az . De irracionális szám az összes olyan egész számnak a négyzetgyöke is, amely nem négyzetszám.

Az irracionális számok halmaza a 4 alapműveletre nézve nem zárt.

Halmazok számossága

Végesnek mondjuk a halmazt, ha az elemszáma egy természetes számmal megadható.

A racionális és az irracionális számok halmazának elemszáma nem adható meg egy természetes számmal, ezért ezek végtelen halmazok.

A végtelen elemszámú halmazok esetében megkülönböztetünk megszámlálhatóan végtelen elemszámot és nem megszámlálhatóan végtelen elemszámot.

Megszámlálhatóan végtelen az a halmaz, amelynek elemeit valamilyen módon sorba tudjuk rendezni. (Meg tudunk adni egy olyan eljárás, amelyet követve a sorba rendezésnél egyetlen elem sem maradna ki)

A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen. A Cantor-féle átlós eljárással könnyen sorba rendezhetjük őket. Egy táblázat első sorában a számlálókat, első oszlopában pedig a nevezőket helyezzük el. Előállítjuk az összes lehetséges módon a közönséges törtet. Biztosan szerepelni fog a táblázatban minden közönséges tört, illetve az átlós bejárást követve a sorba rendezés is adódik.

Az irracionális számok halmazának elemei nem sorba rendezhetők, nem megszámlálhatóan végtelen ez a halmaz. Az ilyen halmazt kontinuum számosságúnak nevezzük. Ilyen a valós számok halmaza is.

A racionális számok és irracionális számok felhasználása

A racionális számok és irracionális számokat már Pitagorasz korában is használták.

Említettem, hogy a valós számegyenesen geometriai ismereteket felhasználva ekkor már ismerték helyüket. Építészeti megoldásokban trigonometrikus alakban kifejezett irracionális számokkal is bőven találkozhatunk.
De racionális és irracionális számokat kaphatunk másodfokú, trigonometrikus, exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásakor is.

Irracionális számok nélkül, pontosan a pi nélkül a kör területéről és kerületéről, forgástestek térfogatáról sem tudnánk beszélni.