Szorzás
A szorzás a négy alapművelet egyike.
A szorzás ismételt összeadást jelent. Lényegében leegyszerűsítjük az ismételt összeadást.
Például: 7 + 7 + 7 = 3 · 7 A hetet 3-szor adjuk össze önmagával, ezt írjuk le röviden úgy, hogy 3 · 7.
Ebben a műveletben a 7-nek az a neve szorzandó, őt szorozzuk meg a 3-mal, aminek a neve szorzó. Elvégezzük a műveletet, az eredmény 21, ennek a neve szorzat.
A szorzásnak nagyon fontos szabálya, hogy a tényezők (a szorzandó és a szorzó) sorrendje felcserélhető, (emiatt nevezhetjük egységesen őket szorzótényezőknek) az eredmény ugyanaz lesz. Tehát 3 · 7 és 7 · 3 is 21-gyel egyenlő.
Példák a szorzás megértéséhez
Végezzük el a következő szorzásokat!
4 · 5 = 5 + 5 + 5 + 5 =20
2 · 6 = 6 + 6 = 12
8 · 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 48
A kövekező Matek Oázis videókkal tanulhatsz a szorzásról
3-as szorzótábla
Ismerd meg a 3-as szorzótáblát, és a feladatok megoldásával gyakorold, rögzítsd a tudásod. Számoljunk hármasával harmincig! Kattints a számegyenesen a következő számra! Válaszd ki az odaillő korongot! Mennyi a megjelenő szám háromszorosa? Párosítsd össze a szorzásokat a hozzájuk tartozó eredményekkel! Pótold a hiányzó számokat!
Szorzás, osztás
TESZT! Nagyon fontos, hogy jól és pontosan tudd elvégezni a szorzást és az osztást, amikor szükség van rá! Ezért gyakorold be alaposan ezeket a műveleteket a teszt feladataival! Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről-lépésre. Kiderül, valóban elsajátítottad-e a tananyagot.
Szorzás nagyobb számokkal
JÁTÉK! Segíts a gólyáknak házhoz szállítani a kicsiket! Minél jobban megy a szorzás kerek tízesekkel, és a többjegyű számok szorzása fejben, annál ügyesebben tudsz segíteni. Csak akkor kezdd el a játékot, ha a Szorzás 1, Szorzás kerek számokkal, ill. kétjegyű számokkal c. videókat már megnézted. Gyakorolhatsz kezdő, haladó és profi szinten is, és ha úgy érzed, hogy jól megy, jöhet a verseny. Ki kerül fel az eredménytáblára?
Műveletek sorrendje
JÁTÉK! A műveletek helyes sorrendjét gyakorolhatod be alaposan ezzel a játékkal. Szorzás-osztás, összeadás, kivonás - ha több művelet is van, melyiket végezzük el előbb? És ha még zárójel is van közöttük? Gyakorold be a játékkal! Ha vannak még bizonytalanságaid, akkor az előző videókból mindent megtanulhatsz
Az algebra alapjai 3. - gyakorlás
Gyakoroljuk az algebrai törtek átalakításait! Az algebrai törteket is közös nevezőre kell hozni, ha összeadni vagy kivonni akarjuk őket. Szorzás és osztás esetén is a törtekhez hasonlóan járunk el. Több feladattal gyakorlunk, hogy végül az ilyen törtes kifejezések se fogjanak ki rajtad.
2. Racionális és irracionális számok...
2. tétel: Racionális és irracionális számok. Műveletek a racionális és irracionális számok halmazán. Közönséges törtek és tizedes törtek. Halmazok számossága. Tanuld meg a racionális és irracionális számok fogalmát, a műveletek tulajdonságait. Segítünk megtanulni, hogyan bizonyítsd be, hogy a gyök 2 irracionális szám, és mit kell elmondanod a tizedestörtekről, törtekről. Mik azok a racionális és irracionális számok? Racionális számoknak azokat a számokat nevezzük, amelyek felírhatók két egész számhányadosaként. Az irracionális számok azok a számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. A valós számok halmaza nem más, mint ennek a két diszjunkt halmaznak az uniója. A valós számok halmaza és a valós számegyenes pontjai közt kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létezik. Ha például a nulla pontnál egységnyi oldalhosszúságú négyzetet szerkesztünk a 0-tól 1-ig tartó szakasz fölé, akkor ennek a négyzetnek az átlója, ami gyök2 hosszúságú, kijelöli a számegyenesen négyzetgyök 2 helyét. Tétel: 2 négyzetgyöke irracionális szám. A tételt indirekt bizonyítási módszerrel bizonyítjuk. Műveletek a racionális és irracionális számok halmazán. A racionális számok halmaza zárt a négy alapműveletre nézve. Ez azt jelenti, hogy két racionális szám összege, különbsége, szorzata és hányadosa is racionális. Természetesen osztás esetén az osztó nem lehet nulla, a 0-val való osztást nem értelmezzük. Mivel a racionális számok esetén létezik közönséges tört alak, ezért elegendő ilyen alakra megnézni a műveleteket. Eredményként mindig racionális számot kapunk, hiszen a kapott tört számlálója is és nevezője is egész szám, mivel az egész számok halmaza is zárt a négy alapműveletre. Két közönséges törtet úgy szorzunk össze, hogy a számlálót a számlálóval, nevezőt pedig a nevezővel szorozzuk. A számláló és a nevező is egész szám lesz, tehát a szorzás eredményeként szintén racionális számot kapunk. Közönséges törttel pedig úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk. Az előzőekhez hasonlóan most is racionális számot kapunk hányadosként. Milyen tulajdonságai vannak ezeknek a műveleteknek? Az összeadás és a szorzás művelete kommutatív, tehát összeadásnál a tagok, szorzás esetén a tényezők felcserélhetők. Ez a két művelet asszociatív is, tehát csoportosítva is elvégezhetjük őket. A szorzás művelete disztributív az összeadásra (és a kivonásra), tehát egy zárójeles összeg tagjait tagonként is beszorozhatjuk. Milyen tizedes törtek vannak? Melyek a racionális számok közülük? A véges tizedes törteket nagyon könnyű meghatározni két egész szám hányadosaként, hiszen az egészrészt és a törtrészt is fel tudjuk írni közönséges tört alakban. Természetesen így nem mindig kapjuk a legegyszerűbb alakot, azt akkor kapjuk meg, ha egyszerűsítünk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójával. A végtelen szakaszos tizedes törtek szintén átírhatók közönséges tört alakba. Ennek egyszerű, elemi módja is van, és végtelen mértani sorok összegképletének segítségével is meghatározható a közönséges tört alak. A végtelen nem szakaszos tizedes törtek irracionális számok. Vannak olyan irracionális számok, amelyeket kiemelt szerepük miatt betűvel is eljelöltek, ilyen például a vagy az . De irracionális szám az összes olyan egész számnak a négyzetgyöke is, amely nem négyzetszám. Az irracionális számok halmaza a 4 alapműveletre nézve nem zárt. Halmazok számossága. Végesnek mondjuk a halmazt, ha az elemszáma egy természetes számmal megadható. A racionális és az irracionális számok halmazának elemszáma nem adható meg egy természetes számmal, ezért ezek végtelen halmazok. A végtelen elemszámú halmazok esetében megkülönböztetünk megszámlálhatóan végtelen elemszámot és nem megszámlálhatóan végtelen elemszámot. Megszámlálhatóan végtelen az a halmaz, amelynek elemeit valamilyen módon sorba tudjuk rendezni. (Meg tudunk adni egy olyan eljárás, amelyet követve a sorba rendezésnél egyetlen elem sem maradna ki) A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen. A Cantor-féle átlós eljárással könnyen sorba rendezhetjük őket. Egy táblázat első sorában a számlálókat, első oszlopában pedig a nevezőket helyezzük el. Előállítjuk az összes lehetséges módon a közönséges törtet. Biztosan szerepelni fog a táblázatban minden közönséges tört, illetve az átlós bejárást követve a sorba rendezés is adódik. Az irracionális számok halmazának elemei nem sorba rendezhetők, nem megszámlálhatóan végtelen ez a halmaz. Az ilyen halmazt kontinuum számosságúnak nevezzük. Ilyen a valós számok halmaza is. A racionális számok és irracionális számok felhasználása. A racionális számok és irracionális számokat már Pitagorasz korában is használták. Említettem, hogy a valós számegyenesen geometriai ismereteket felhasználva ekkor már ismerték helyüket. Építészeti megoldásokban trigonometrikus alakban kifejezett irracionális számokkal is bőven találkozhatunk. De racionális és irracionális számokat kaphatunk másodfokú, trigonometrikus, exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásakor is. Irracionális számok nélkül, pontosan a pi nélkül a kör területéről és kerületéről, forgástestek térfogatáról sem tudnánk beszélni.
18. Vektorok, vektorműveletek ...
18. tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbontási tétel. Vektorok koordinátái. Skaláris szorzat. A kidolgozott tételt fogod látni/ hallani a videón úgy, ahogyan azt a vizsgán is egy az egyben elmondhatod. Azokat érdemes felírni a táblára, amit a videón látsz kékkel. A videó 2. felében segítünk megtanulni is a tételt. Mit kell tudni a vektorokról? Az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. A szakasz azért irányított, mert van kezdőpontja és végpontja. Ez egy szemléletes megoldás, a vektor alapfogalom, nem definiáljuk. Egy vektort két mennyiséggel lehet jellemezni, a hosszával és az irányával. A vektor abszolútértéke definíció szerint a vektort meghatározó irányított szakasz hosszát jelenti. A nulla hosszúságú vektort nullvektornak nevezzük. Ennek a vektornak az iránya tetszőleges. A tetszőleges irány annyit tesz, hogy mindig annyi, amennyi szükséges: a nullvektor lehet párhuzamos és merőleges is egy másik vektorhoz viszonyítva. Két nem nullvektor szöge 0°, ha egyirányúak, 180° ha ellentétes irányúak, más esetben a két vektor iránya által meghatározott két szög közül a kisebb. Milyen műveleteket végezhetünk vektorokkal, és hogyan? A vektorok között műveleteket értelmezünk. a és b vektor összege annak az eltolásnak a vektora, amellyel helyettesíthető az a vektorral és a b vektorral történő eltolások egymásutánja. A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív művelet. Középiskolában vektorok összeadására a háromszög szabályt és a paralelogramma szabályt használtuk. Az a és b vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelyre a = b + c teljesül. Ezzel ekvivalens az a definíció, hogy az a-hoz hozzáadjuk a b ellentettjét. Most ismertetem a vektor skalárral való szorzását. Egy nullvektortól különböző a vektor tetszőleges alfa valós számmal, azaz skalárral vett szorzata egy olyan vektor, amelynek abszolút értéke alfa*|a|; Az irána alfa > 0 esetén az a vektorral egyirányú; alfa
Tizedestörtek - alapok, összeadás, kivonás
Átismételjük a tizedestörtekről, helyiértékről, közelítő értékről tanultakat. Műveletek végzünk tizedestörtekkel: tizedestörtek összeadása/kivonása tizedestörttel (tizedestörtből), tizedestört szorzása/osztása (10-zel, 100-zal, 1000-rel), tizedestörttel és egész számmal. Összetett feladatokat oldunk meg.
Műveletek sorrendje - folytatás
Megtanulhatod egy műveletsoron belül az összeadás-kivonás, szorzás-osztás műveletek közül, melyiket kell elvégezni először. Ennek bizony megvan a maga szabálya. Lépésről-lépésre, szemléltetve haladunk végig a műveleteken. Majd be is gyakoroljuk, hogy biztos elsajátítsd ezt a fontos tananyagot.
Egész számok szorzása, osztása, hatványozása
Pozitív és negatív egészek szorzását, osztását gyakoroljuk pozitív és negatív egész számokkal. Hogyan változnak az előjelek? Megvizsgáljuk a hatványozást is a pozitív és negatív egész számok terén. Mi történik páros és páratlan számú negatív tag szorzata esetén? Figyelj a műveleti sorrendre!
Írásbeli szorzás kétjegyű számokkal - bevezető feladatok
Írásbeli szorzás kétjegyű számokkal. Egyjegyűekkel már megtanultál írásban szorozni, nézzük meg, hogyan megy ez kétjegyű számokkal! Nagyon fontos, hogy az írásbeli műveletek jól menjenek, hisz a legtöbb matek példában szükséged lesz az ilyen számításokra. Sok példával gyakorlunk.
Egész számok szorzása, osztása
Megtanuljuk, hogyan kell Pozitív és negatív számokat szorozni, osztani. Ha azonos előjelű számokat szorzunk, vagy osztunk, akkor az eredmény pozitív lesz, ha különböző előjelű számokat szorzunk vagy osztunk, akkor az eredmény negatív lesz Átismételjük, hogy mi az abszolút érték, és mi a szám ellentettje? Több egész szám szorzását és osztását is megtanuljuk, alaposan begyakoroljuk.
Vegyes feladatok törtekkel 3.
Ebben a videóban többféle feladatot találsz a törtekkel kapcsolatban. Szöveges feladatok törtekkel. Törtes szöveges feladatok esetén is az adatok kiírásával kezdjük, majd szépen sorban felírjuk az összefüggéseket. Alaposan begyakoroljuk a műveleteket és a törtek alkalmazását.
Vegyes feladatok törtekkel 2.
Ebben a videóban többféle feladatot találsz a törtekkel kapcsolatban. Műveletek sorrendje. Ha törtekkel számolunk, akkor is figyelembe kell venni, hogy először a zárójelben lévő műveleteket kell elvégezni, a következő a szorzás, osztás és végül az összeadás, kivonás. Szöveges feladatok törtekkel. Törtes szöveges feladatok esetén is az adatok kiírásával kezdjük, majd szépen sorban felírjuk az összefüggéseket. Alaposan begyakoroljuk a műveleteket és a törtek alkalmazását.
Gyakorlás - Algebrai törtek egyszerűsítése, szorzása
Gyakoroljuk az algebrai törtek egyszerűsítését, algebrai törtek szorzását. Az algebrai törtek számlálójában és nevezőjében is betűs kifejezések vannak. Feladatokkal gyakoroljuk a műveletvégzést az algebrai törtekkel. Egyszerűsítsd a törtet! Alakítsd szorzattá!
Szövegesek vegyesen II. rész
Az iskolai könyvtárban mesekönyvekből az alsó polcon 81 könyv van. A második polcon ennek 9-edével van kevesebb, a harmadikon pedig a másodikon levő könyveknél is kevesebb van, és itt is épp a 9-ed részével. a) Hány könyv van a második polcon? Oldjuk meg ezt és más szöveges feladatokat interaktívan, közösen!
Szorzás szöveges feladatokban 2.
Gábor a szüleivel együtt ment el bevásárolni a boltba. Hazafelé apa csomagja 3-szor nehezebb volt, mint az anyukáé. Hány kilót vittek haza együtt, ha anya 6 kg-ot vitt, és még Gábornál is volt 2 kg? Két fenyő áll az erdő szélén. Az egyik 3 méteres, a másik 5-ször magasabb. Hány méteres a magasabb fenyő?
