Matematika pótvizsga 11. osztály

A szögfüggvények ismerete nagyon fontos a geometriai számításokban. Derékszögű háromszögek hiányzó adatait a szinusz (sin), koszinusz (cos), tangens (tg), kotangens (ctg) szögfüggvények segítségével könnyedén kiszámíthatjuk. Nézd át mindezt ezen az interaktív oktatóvideón, és gyakorold velünk a sin, cos, tg, ctg szögfüggvények használatát!

Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik. Sorra vesszük a nevezetes (30, 45, 60 fokos) szögek szögfüggvényeit. Alkalmazzuk a szögfüggvényeket sík-és térgeometriai feladatokban.

Ebben a matek tananyagban a szinusz szögfüggvény általánosítását vezetjük be, megnézzük a függvény tulajdonságait és a szinuszos alapegyenleteket. Azt is részletesen elmagyarázzuk, mi is az a radián, mert erre is szükség van a trigonometrikus egyenletek megoldásához.

Ebben a matek tananyagban a szinusz-függvény után a koszinusz-függvény általános definícióját, a koszinusz-függvény tulajdonságait és az ezek ismeretében megoldható egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldását nézzük át. Feladatokkal gyakorlunk.

A tg x és ctg x alkalmazását és függvényeiket vizsgáljuk ebben a videóban. Meghatározzuk a definíciót: tg x = a megoldása; ctg x = a megoldása. Megvizsgáljuk koordináta-rendszerben is, vajon növekszik vagy csökken-e a függvény. Hol lehet értelmezni a függvényt?

Ebben a videóban gyakorló feladatokat találsz a szögfüggvények általánosításáról tanultak ellenőrzésére. Háromszög területének kiszámítását gyakorolhatod két oldal és az általuk bezárt szög ismeretében.

Ez a matematikai oktatóvideó a szinusz és koszinusz-tétel használatára tanít meg téged. Fontosak ezek a tételek, hisz minden háromszögben alkalmazhatók. Ha a háromszög oldalai és szögei közül hiányzó adatokat kell kiszámolnunk, bizonyos esetekben a szinusztételt, máskor a koszinusz-tételt kell használni. Azt is megtanulhatod a videóról, mikor melyik tételt kell használni. Kattints és nézz körül az évfolyam videói között!

Geometriai feladatokat oldunk meg, melyek megoldásával gyakorolhatod a szinusz-, és a koszinusz-tétel alkalmazását. Figyelj, mikor melyiket kell alkalmazni, melyik adat hiányzik a háromszögben.

Ebben a videóban különböző trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod. Bemutatjuk azokat a típusfeladatokat, amik középszinten jellemzőek, illetve igyekszünk támpontokat adni az ilyen egyenletek megoldásához. A feladatok megoldásánál feltételezzük, hogy az alapegyenletekkel (sin x = a; cos x = a; tg x; ctg x = a típusú feladatok általános megoldásával) már tisztában vagy.

Trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod velünk további tíz feladat megoldásával. A szinusz, koszinusz, tangens, kotangens szögfüggvények összefüggéseit alkalmazva megmutatjuk a típusfeladatokat és a megoldásuk mesterfogásait.

Az egyenletek után a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásával is foglalkozunk. Tisztázzuk a tudnivalókat a nevezetes szögekről, meghatározzuk a tartományt, a periódust, amiben számolunk. Szinusz, koszinusz, tangens, kotangens szögfüggvényekkel is dolgozunk. Feladatokat oldunk meg a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának gyakorlására.

JÁTÉK! Telepítsd be a tengeri akváriumot! Derékszögű háromszögekben keressük az alfa vagy a béta szög szögfüggvényeit. El kell döntened, hogy a felírt tört a megadott szög szinuszával, koszinuszával, vagy épp tangensével-kotangensével egyezik meg. Látni fogod utána a magyarázatot is, így a végére már magabiztosan fogod tudni használni a szögfüggvényeket.

TESZT! Hét feladat megoldásával gyakorolhatod a szögfüggvények használatát derékszögű háromszögekben. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Gyakorold a szögfüggvények alkalmazását! Feladatok, melyek megoldásával letesztelheted mennyire sikerült elsajátítanod a szögfüggvényekről tanultakat. Keresd meg a rajzokon a derékszögű háromszögeket, és írd fel a szögek szögfüggvényeit!

TESZT! Gyakorold be a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását, mert ez az alapja a nehezebb feladatok megoldásának! Figyelj a periódusra, és arra, ha több megoldás is van! Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! További hét feladatot oldhatsz meg önállóan a szinusz-, és a koszinusz tétel alkalmazásának gyakorlására. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Tedd próbára tudásod! További feladatokat találsz ebben a videóban, melyekkel a trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

A hatványozás, a gyökvonás és a logaritmus összefüggenek egymással. A hatványozás az alapja mindennek, tehát nagyon fontos, hogy tisztában legyél ezek azonosságaival, és alkalmazni is tudd őket. Átismételjük a hatványozást egész kitevővel. Meghatározzuk a hatványozás definícióját, a hatványozás azonosságait. Feladatokat oldunk meg együtt a hatványozás gyakorlására.

A négyzetgyök fogalmával már korábban is találkozhattál. Sorra vesszük a négyzetgyök átalakítás azonosságait. Megvizsgáljuk, mit lehet "kihozni", kiemelni a gyökjel alól, vagy mi lehet bevinni a gyökjel alá. A törtek (nevező) gyöktelenítéséről is tanulunk. Példákat, feladatokat oldunk meg gyökvonással kapcsolatban. Ismételjük át mindezt a 10.-es anyagból!

A mostani matekvideóban először is az n-edik gyök fogalmát ismételjük át, példákkal, foglalkozunk a páros és páratlan gyök közötti különbségekkel. Aztán megnézzük, mit jelent az, ha a hatvány kitevőjében egy törtszám áll. Majd megmutatjuk, hogy így egyesítve a gyökvonást a hatványozással, mennyivel könnyebb a törtkitevőkkel műveleteket végezni.

A logaritmus művelete sok szempontból a legnehezebb fogalmak közé tartozik a középszintű matematikában. Ez a videó úgy mutatja be a logaritmus definícióját, és az ehhez kapcsolódó feladatokat, hogy az emészthető legyen bárki számára. Hogyan kell "levarázsolni" a hatvány kitevőjét, aztán hogyan kell áttérni más alapra, ilyeneket is begyakorolhatsz ezzel a videóval.

Ezen a videón az exponenciális függvényekkel és a logaritmikus függvényekkel ismerkedünk. Átnézzük ezeknek a függvényeknek a tulajdonságait, megvizsgáljuk, hogyan függ a függvények menete az alaptól: a logaritmus alapjától illetve a hatvány alapjától.

Ha jól tudod a hatványozás azonosságait, akkor az exponenciális egyenletek megoldása is menni fog. Nézzük meg ennek lépéseit, a típusfeladatokat, és gyakoroljuk ezek megoldását! Sok gyakorló példa vár.

Ez a matematikai oktatóvideó a logaritmikus egyenletek (vagy logaritmusos egyenletek) különböző fajtáit mutatja be. Sorra vesszük a logaritmus azonosságait, és gyakorolhatod is a feladatmegoldást.

Ez a videó az exponenciális és a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának rejtelmeibe vezet be. Növekvő vagy csökkenő a függvény? Melyik hatvány a nagyobb? Hogyan változik a relációs jel? Feladatokat oldunk meg exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségekkel.

TESZT! A hatványozásról és a gyökvonásról tanultakat gyakorolhatod a feladatok megoldásával. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Tesztelt a tudásod az alábbi feladatokkal: Határozd meg a logaritmusok értékeit!; Oldd meg a logaritmusos egyenleteket!; Számítsd ki a közelítő értékét! Sok sikert! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! Dolgozz önállóan, kiderül, elsajátítottad-e az exponenciális egyenletekről szóló tudnivalókat. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Oldd meg a feladatokat a logaritmus-azonosságok alkalmazásával! Logaritmusos matematika feladatok megoldását gyakorolhatod önállóan, majd kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

JÁTÉK! Építsd fel a városodat a mezőre! El kell döntened a logaritmusokról, vagy a velük végzett műveletekről, hogy az átalakítás helyes vagy helytelen. Látni fogod utána a magyarázatot is. Így a végére profin tudsz majd bánni a logaritmussal és az azonosságaival.

TESZT! Tedd próbára tudásod! Add meg a következő logaritmikus egyenletek megoldásait logaritmus azonosságok felhasználásával! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Az alábbi tesztben próbára teheted tudásod a logaritmus definíció és logaritmus azonosságok alkalmazása, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenlet-rendszerek és a logaritmus függvény ábrázolása terén. Dolgozz önállóan, majd a kiértékelésben levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Tedd próbára tudásod az exponenciális egyenleteket, egyenlőtlenségeket terén! Ábrázold koordináta-rendszerben a függvényt! Dolgozz önállóan, majd a kiértékelés során levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

A vektorok irányított szakaszok. Először azokat a vektorokkal kapcsolatos ismereteket nézzük át, amelyekkel valószínűleg már találkoztál. Vektorműveleteket végzünk, vektorokat adunk össze és vonunk ki egymásból, vektort számmal szorzunk összefűzés, paralelogramma módszerével. Elmondjuk, mikor melyik módszert érdemes vagy kell alkalmazni. Megismerkedünk a helyvektor és a háromszög súlypontjába mutató helyvektor fogalmával. Vektoros feladatokat oldunk meg együtt.

A koordinátageometria tanulását ezekkel az alapokkal kell kezdeni. Ezen a videón mindent megtanítunk a vektorokkal kapcsolatos számításokról: vektor hossza, vektorműveletek koordinátákkal, vektorok hajlásszöge, skaláris szorzata. Ezen túl megmutatjuk még, hogyan kell kiszámolni szakasz hosszát, szakasz felezőpontját, a harmadolópontjait, sőt, még a háromszög súlypontjának koordinátáiról is szó van ebben a tananyagban.

Az egyenessel kapcsolatos alapfogalmakat vesszük át ezen a videón: irányvektor, normálvektor, irányszög, meredekség vagy iránytangens. Szó lesz az egyenes normálvektoros egyenletéről, a párhuzamos és merőleges egyenesekről, háromszögek nevezetes vonalainak egyenletéről, egyenesek metszéspontjáról.

Ebben a videóban a kör egyenletével ismerkedhetsz meg. Megtanulhatod, hogyan kell felírni a kör egyenletét, visszafelé: hogyan lehet az egyenletből kiszámítani a középpont koordinátáit és a sugarát. Hogyan kell felírni a kör érintőjének egyenletét, kiszámítani körök és egyenesek metszéspontjait. Kattints és nézz körül az évfolyam videói között!

Írd fel az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! Írd fel az ABC háromszög mb magasságvonalának egyenletét! Írd fel az AB átmérőjű kör egyenletét! Számítsd ki a k kör és az mb metszéspontjának (metszéspontjainak) koordinátáit!

Olyan matematika feladatokat oldunk meg, melyekben szükség van az elemi geometriai és a koordináta geometriai ismereteinkre is: háromszöggel és paralelogrammával kapcsolatos feladatok várnak.

Újabb koordináta geometriai feladatok várnak: körrel, háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos koordináta geometriai kérdéseket kell megválaszolni. Oldjuk meg együtt ezeket az összetett feladatokat!

TESZT! Számítsd ki két pont távolságát! Mennyi a vektor hossza? Írd fel a háromszög súlypontjának koordinátáit! Mennyi a b és c vektor skaláris szorzata? Írd fel a paralelogramma oldalvektorait! Dolgozz önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Gyakorló feladatokat találsz ebben a videóban: Mennyi az egyenes meredeksége? Írd fel a P és Q pontokon átmenő egyenes egyenletét! Írd fel a C csúcson átmenő magasságvonal egyenletét! Határozd meg a két egyenes metszéspontját!

TESZT! Gyakorló feladatokat találsz ebben a videóban: Írd fel a kör egyenletét! Rajta van-e a k körön a P pont? Dolgozz önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Önálló munkára hívunk. A koordinátageometriából tanult ismeretek alkalmazását gyakorolhatod a három-, és négyszögekkel kapcsolatos feladatok megoldásával. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! További koordinátageometriai feladatok gyakorláshoz; Írd fel az AB átmérőjű kör egyenletét! Írd fel a kör érintőjének egyenletét! Határozd meg a körök metszéspontjainak a koordinátáit!

Elsőfokú egyenletrendszerek megoldási módszereit ismertetjük. Kifejezzük az egyik ismeretlent az egyik egyenletből, majd visszahelyettesítjük a másik egyenletbe. Másik módszer az egyenlő együtthatók módszere. Továbbá lehetséges az új ismeretlen bevezetése is. Tarts velünk, biztos megérted Te is!

Másodfokú, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek megoldásának lépéseit, módszereit sajátíthatod el ebben a videóban. Fejezzük ki az egyik egyenletből az egyik ismeretlent, majd helyettesítsük be a másik egyenletbe!

A kombinatorika újabb módszereivel foglalkozunk. A permutációk (= sorbarendezések): n különböző elem összes lehetséges sorrendje, a variációk: k különböző hely n különböző elemmel való kombinálása. Sok érdekes feladat vár.

Példákkal gyakorolhatod a kombinációkat (= n elem ismétlés nélküli kombinációi). Megtanuljuk eldönteni, hogy a feladatban variációról vagy kombinációról van-e szó. Vegyes feladatokat oldunk meg permutáció, variáció, kombináció témában. Tarts velünk!

Megismerkedünk a gráfok fogalmával, pontjaival, éleivel, és a köztük lévő összefüggésekkel. Megtanuljuk a gráf készítését. Feladatokat oldunk meg a gráfok témaköréből, gráfok segítségével.

Ezen a videón a valószínűségszámítás alapjaival ismerkedhetsz meg. A klasszikus valószínűségi modellel, az alkalmazásával, egy kis eseményalgebrával, események összegének és szorzatának valószínűségével, komplementer események valószínűségével. Példák és gyakorlófeladatok teszik lehetővé, hogy ellenőrizd magadat.

A valószínűségszámítás alapja a klasszikus valószínűségi modell. A kedvező esetek számát osztjuk az összes eset számával. Másik típus a visszatevéses mintavétel. Beszélünk még a geometriai valószínűségről. Megvizsgálhatjuk, milyen esetekben melyik típus alkalmazható.Gyakorló feladatokat oldunk meg együtt.

Gyakorló feladatokat oldunk meg együtt: Mekkora az esélye, hogy lányt választunk? Mekkora a valószínűsége, hogy elsőre sárgát, aztán kéket és végül pirosat húzunk? Mekkora a valószínűsége, hogy mindkét kockával 6-ost dobunk?

Az új követelményekben a mintavételek valószínűsége külön hangsúlyosan szerepel. Ebben a videóban ezt könnyen megtanulhatod, részletesen kitérünk a visszatevés nélküli és a visszatevéses mintavételre is, valamint a binomiális eloszlásra. Találsz olyan mintavételtől független feladatokat is, ahol alkalmazhatók ezek az ismeretek.

TESZT! Gyakorlófeladatok önálló megoldására hívunk a kombinatorika témaköréből: Hányféle sorrend/megoldás lehetséges? Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Ellenőrizd a tudásod! Rajzolj gráfokat, állapítsd meg, hogy lehet-e adott fokszámú gráfot rajzolni, számítsd ki a teljes gráf éleinek számát, szemléltesd gráfokkal a szöveges feladatokat.

TESZT! Önálló munkára hívunk. Feladatok megoldásával gyakorolhatod a valószínűségszámításból szerzett ismereteidet, tudásodat. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

A statisztika alapjait ismételjük át. Megtanuljuk, mik azok a középértékek. Hogyan számoljuk ki az átlagot, mediánt, móduszt? Az adatok osztályba sorolásáról lesz szó. Példákat, feladatokat oldunk meg az átlag, módusz, medián értékének meghatározására.

Az adathalmazok fontos jellemzőit vesszük sorra: terjedelem, átlagos abszolút eltérés és szórás. Nem mindegy, hogy a halmaz csak egymáshoz nagyon közeli értékeket tartalmaz, vagy vannak elszórt értékek is. Megvizsgáljuk, mi a szórásnégyzet. Feladatokat oldunk meg a terjedelem, átlagos abszolút eltérés és szórás kiszámítására.

A statisztikai eredményeket grafikusan is kiértékelhetjük. A különböző grafikonokat mutatjuk be: kördiagram, hisztogram, sávdiagram, oszlopdiagram. Megtanuljuk értelmezni a grafikonokat, leolvasni az adatokat a grafikonról.

Megmutatjuk, hogyan kell oszlop-, sáv-, és kördiagramot készíteni a rendelkezésünkre álló adatokból. Ezen az interaktív oktatóvideón összefoglaljuk mindazt, amit középszinten tudni kell a grafikonok készítéséről. Hogyan kell oszlopdiagramot készíteni, mennyiben más a sávdiagram, és mi a titka a kördiagramok készítésének.

TESZT! Tedd próbára tudásod a statisztikából tanultakról: átlag, módusz, medián meghatározása, adatok leolvasása diagramról, diagramkészítés. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! I. rész - ellenőrzés (11. oszt)

TESZT! II. rész - ellenőrzés (11. oszt)

TESZT! Teszt 11.-es ismétléshez III. (koord. geom.)

Hat feladat (megoldások nélkül) a 11. osztályos matematika tananyagból, melyek megoldásával ellenőrizheted, illetve próbára teheted a tudásod. Koordinátageometriai feladatok (szinusz-, koszinusz - tétel, egyenes egyenlete), exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek várnak. Útmutatást, jó tanácsokat is adunk ebben a videóban.

Az előző videó feladatinak megoldását találod itt. Koordinátageometriai feladatok (szinusz-, koszinusz - tétel, egyenes egyenlete), exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek megoldása vár. Ellenőrizheted magad, és el is magyarázzuk a helyes megoldást.

Újabb hat feladat (megoldások nélkül) a 11. osztályos tananyagból. Ezek megoldásával kiderítheted, vannak-e hiányosságaid, illetve még jobban rögzítheted mindazt, amit tudsz. Exponenciális függvény ábrázolása, exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek, paralelogramma oldalainak kiszámítása vár, valamint egy koordinátageometriai feladat: Kör és az érintő egyenletének felírása.

Az előző videó feladatainak megoldásait találod itt. Exponenciális függvény ábrázolása, exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek, paralelogramma oldalainak kiszámításának megoldása vár, valamint egy koordinátageometriai feladat: Kör és az érintő egyenlete.

Ezt a videót a legnehezebb témakörök gyakorlására tettük be az érettségi tréning videói közé. A 11.-es matekban ez év végi ismétlő feladatsorként ill. próba-pótvizsga feladatsorként szerepel. A példák között szerepel két logaritmusos és egy exponenciális egyenlet, egy trigonometrikus egyenlet, egy geometria példa szinusz,-és koszinusz-tétel gyakorlására, valamint két koordinátageometria feladat. A megoldásokat a következő videón láthatod.

Az előző videó feladatainak megoldása vár. Ellenőrizheted magad, és el is magyarázzuk a helyes megoldást. Trigonometrikus-, exponenciális-, logaritmikus egyenleteket kellett megoldanod. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge? Koordinátageometriai feladat: Írd fel a P és Q ponton átmenő egyenes egyenletét! Milyen messze van a kör középpontja az origótól?