Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

Hogyan kell kiszámolni azokat a feladatokat, amiknél egy számtani sorozat megadott tagja alapján kell kiszámolni egy mértani sorozat tagjait?

Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 6. Ha az első taghoz 5-öt, a másodikhoz 2-t, a harmadikhoz 1-et adunk, akkor egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Melyik ez a számtani sorozat?


Egy mértani sorozat harmadik és negyedik tagjának összege 80, az ötödik és a harmadik tagjának különbsége 240. Melyik ez a sorozat?

VÁLASZ

Ez már emelt szintű feladatnak számít, a középszintű érettségi követelményben nincs benne, ezért a videókban sem szerepel.

1. A számtani sorozat 2. elemét érdemes a-val jelölni, mert ekkor az első 3 elem:
a-d ; a ; a+d
Ezek összege 6
a-d+a+a+d = 6
Összevonva: 3a = 6
Ebből a = 2.
Így a számtani sorozat elemei:
2-d ; 2 ; 2+d
Ha az első taghoz 5-öt, a másodikhoz 2-t, a harmadikhoz 1-et adunk:
2-d+5 ; 2+2 ; 2+d+1
összevonva:
7-d ; 4 ; 3+d
Ezek egy mértani sorozat elemei. A mértani sorozatról tudjuk, hogy egy eleme az előző és az utána következő elem mértani közepe:
a_n² = a_n-1 · a_n+1
Vagyis most a 2. elem négyzete = az első és a 3. elem szorzatával
4² = (7-d) · (3+d)
A jobboldalon minden tagot minden taggal meg kell szorozni, és egy másodfokú egyenletet kapunk, ami megoldó képlettel megoldható, d-re két megoldást kapunk, mind a kettő jó.

2.
Mértani sorozat 3. eleme: a₁ · q²
4. eleme: a₁ · q³
5. eleme: a₁ · q⁴
Az összegeket felírva egy egyenletrendszert kapunk, az kell megoldani.
a₁ · q² + a₁ · q³ = 80
a₁ · q² + a₁ · q⁴ =240

Ha mindkét egyenletben a baloldalon kiemelünk a₁ · q²-et, aztán elosztjuk egymással a két egyenletet, egy másodfokú egyenletet kapunk q-ra, ami megoldóképlettel megoldható.

Remélem, így menni fog.