KÉRDÉS

Összeadtunk 55 egymást követő pozitív páratlan számot, az összeg értéke 3905.
a) Melyik volt az összegben az első, illetve az ötvenötödik páratlan szám?
b) Melyik az összeadottak között a legkisebb olyan szám, amelynek a prímtényezős felbontásában két különböző prímszám szerepel, és a négyzete ötre végződik?

VÁLASZ

Ez egy olyan számtani sorozat, melynek a pozitív páratlan számok a tagjai, így a differencia d = 2.
a1; a2; a3; ... ; a55, ; S55 = 3905

a) A sorozat n-edik tagját az an = a1 + (n-1) d képlettel, az összeget pedig az Sn = (2a1 + (n-1)d )/2 × n képlettel számolható. (Ezek megtalálhatók a függvénytáblában.)

Az összegképletbe behelyettesítve az adatokat a sorozat első tagja meghatározható:

S55 = (2a1 + 54×2)/2 × 55 (egyszerűsítés és beszorzás után)
3905 = 55a1 + 2970
17 = a1

a55 = a1 + (n-1) × d
a55 = 17 + 54 × 2
a55 = 125

b.) Ha egy szám négyzete 5-re végződhet, akkor önmaga a szám is osztható 5-tel. Tehát az egyik prímtényező az 5.
Így a sorozatnak azt a legkisebb tagját keressük, melynek prímtényezős felbontásában az egyik prím az 5, a másik pedig egy 5-től különböző prímszám, és a kettő valamilyen hatványon vett szorzata legalább 17.

A 17-nél nagyobb (v. egyenlő) számok között az első 5-tel osztható a 20, abban is csak 2 prím szerepel, de az páros szám. A következő a 25, abban viszont csak 1 prímtényező szerepel. A következő páratlan, 5-tel osztható szám a 35, és az már minden feltételnek eleget tesz: a prímfelbontásában két különböző prímszám szerepel, és a négyzete 5-re végződik.

Aktiváld az INGYENES próbaidőszakot! Több száz tananyag! teszt! játék!

Teljes hozzáférés minden tananyagokhoz, teszthez és játékhoz!