Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

Üdv kérdésem a következő: Egy paralelogrammába 10 cm sugarú kör írható. A paralelogramma egyik szöge 45 fok. Mekkora a paralelogramma kerülete és területe? Előre is köszönöm!

VÁLASZ

A megoldáshoz először is vázlatrajzot kell készíteni. Először szabad kézzel rajzoljunk egy kört és köré egy paralelogrammát úgy, hogy a kör érintse a paralelogramma minden oldalát. Ez csak akkor lehetséges, ha a paralelogramma egy rombusz, tehát minden oldala egyenlő hosszúságú.

A paralelogramma egyik szöge 45 fok, ez legyen az egyik alapon fekvő szög, amit jelöljünk a rajzon, majd rajzoljuk be a beírt kör átmérőjét is.
Ha ügyesen rajzolunk jól látszik, hogy a beírt kör átmérője egyenlő hosszúságú a paralelogramma magasságával. Ez a magasság egy 45°-os derékszögű háromszöget metsz ki a paralelogrammából. Ennek a háromszögnek a segítségével és szögfüggvény alkalmazásával ki tudjuk számolni a háromszög (paralelogramma) egyik oldalát.
Ha a keresett oldalt a-val jelöljük, akkor : szinusz 45 fok = 20 cm / a
gyök 2 /2 = 20 cm /a
a = 40/ gyök2
a = 28,3 cm (egy tizedesjegyre kerekítve)

Mivel a paralelogrammánk most egy rombusz, így K = 4×a, K = 4 × 28,3 cm, K = 113,2 cm.

A paralelogramma oldala és a hozzá tartozó magassága ismert, így T = a × ma, T = 28,3 cm × 20 cm, azaz T = 566 négyzetcentiméter.