Vektorok skaláris szorzata
Legyen adott két vektor: a és b . A két vektor skaláris szorzata:
a · b = | a | · | b | · cos ɑ
A képletben | a | és | b | az a illetve b vektorok hosszát jelenti, ɑ pedig a két vektor által közrezárt szög. (Innen meg tudod tanulni a vektor hosszának a kiszámítását.)
Az a (a1 ; a2) és b (b1 ; b2).skaláris szorzatot a koordinátákból is ki lehet számolni. Bizonyítható, hogy:
a · b = a1 · b1 + a2 · b2
Ha két vektor merőleges egymásra, akkor a skaláris szorzatuk 0 (hiszen cos ɑ = 0). Ha az a feladat, hogy bizonyítsuk két vektorról, vagy szakaszról, hogy merőlegesek, sokszor a skaláris szorzattal a legkönnyebb a bizonyítás.
Sok matek feladat a skaláris szorzattal kapcsolatban úgy oldható meg, hogy a két különböző módszer segítségével felírjuk az egyenlőséget.
Példák vektorok skaláris szorzására
1. feladat: Egy rombusz átlóinak hossza 12 és 20. Számítsuk ki az átlóvektorok skaláris szorzatát!
Megoldás: A skaláris szorzat érték 0, mert a rombusz átlói merőleges egymásra.
2. feladat: Számítsuk ki a következő vektorok skaláris szorzatát! Határozzuk meg a két vektor által bezárt szöget! a (5 ; 8) és b (-40 ; 25)
Megoldás: A két vektor skalári szorzata: a · b = a1 · b1 + a2 · b2 = 5 · (-40) + 8 · 25 = -200 + 200 = 0.
A két vektor skaláris szorzata 0, ezért a két vektor által bezárt szög derékszög (90°).
3. feladat: A PQR háromszög csúcsai: P (−6 ; −1) , Q (6 ; −6 ) és R (2 ; 5). Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő belső szögének nagyságát!
Megoldás: A kérdéses szöget a háromszög oldalvektorai skalárszorzatának segítségével lehet meghatározni.
Az oldalvektorok PQ (12 ; −5) és PR (8 ; 6)
A két vektor skaláris szorzata a koordinátákból: PQ · PR = 12 · 8 + (-5) · 6 = 96 - 30 = 66.
Az oldalvektorok hossza | PQ | = 13 és | PR | = 10
A két vektor skaláris szorzata a definíció szerint:
a1 · b1 + a2 · b2 = | a | · | b | · cos ɑ
66 = 13 · 10 · cos ɑ
0,5077 = cos ɑ
ɑ = 59 5, (mivel ɑ 0° < ɑ < 180°, hiszen egy háromszög belső szöge)
A kövekező Matek Oázis videókkal tanulhatsz a skaláris szorzatról
Vektorok
Ez a videó a vektorokkal kapcsolatos ismereteket foglalja össze. Ezekkel az irányított szakaszokkal is lehet különböző műveleteket végezni (de persze nem úgy, mint a számokkal). Hogyan lehet elvégezni a vektorok összeadását (paralelogramma módszerrel ill. összefűzéssel), vektorok kivonását, hogyan lehet őket számmal szorozni, illetve mit jelent vektorok skaláris szorzata, ezeket nézzük át ezen a videón példákon is gyakorolva.
Vektorok, vektorműveletek
TESZT! Tedd próbára tudásod a vektorok témakörről szerzett tudásod terén! Határozd meg az összegvektorok végpontját! Határozd meg a vektorok koordinátáit! Számold ki a háromszög súlypontjába mutató helyvektor koordinátáit! Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.
Vektorok (ismétlés)
A vektorok irányított szakaszok. Először azokat a vektorokkal kapcsolatos ismereteket nézzük át, amelyekkel valószínűleg már találkoztál. Vektorműveleteket végzünk, vektorokat adunk össze és vonunk ki egymásból, vektort számmal szorzunk összefűzés, paralelogramma módszerével. Elmondjuk, mikor melyik módszert érdemes vagy kell alkalmazni. Megismerkedünk a helyvektor és a háromszög súlypontjába mutató helyvektor fogalmával. Vektoros feladatokat oldunk meg együtt.
Vektorok - Vektorműveletek
A vektorok irányított szakaszok. Először azokat a vektorokkal kapcsolatos ismereteket nézzük át, amelyekkel valószínűleg már találkoztál. Vektorműveleteket végzünk, vektorokat adunk össze és vonunk ki egymásból, vektort számmal szorzunk összefűzés, paralelogramma módszerével. Elmondjuk, mikor melyik módszert érdemes vagy kell alkalmazni. Megismerkedünk a helyvektor és a háromszög súlypontjába mutató helyvektor fogalmával. Vektoros feladatokat oldunk meg együtt.
18. Vektorok, vektorműveletek ...
18. tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbontási tétel. Vektorok koordinátái. Skaláris szorzat. A kidolgozott tételt fogod látni/ hallani a videón úgy, ahogyan azt a vizsgán is egy az egyben elmondhatod. Azokat érdemes felírni a táblára, amit a videón látsz kékkel. A videó 2. felében segítünk megtanulni is a tételt. Mit kell tudni a vektorokról? Az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. A szakasz azért irányított, mert van kezdőpontja és végpontja. Ez egy szemléletes megoldás, a vektor alapfogalom, nem definiáljuk. Egy vektort két mennyiséggel lehet jellemezni, a hosszával és az irányával. A vektor abszolútértéke definíció szerint a vektort meghatározó irányított szakasz hosszát jelenti. A nulla hosszúságú vektort nullvektornak nevezzük. Ennek a vektornak az iránya tetszőleges. A tetszőleges irány annyit tesz, hogy mindig annyi, amennyi szükséges: a nullvektor lehet párhuzamos és merőleges is egy másik vektorhoz viszonyítva. Két nem nullvektor szöge 0°, ha egyirányúak, 180° ha ellentétes irányúak, más esetben a két vektor iránya által meghatározott két szög közül a kisebb. Milyen műveleteket végezhetünk vektorokkal, és hogyan? A vektorok között műveleteket értelmezünk. a és b vektor összege annak az eltolásnak a vektora, amellyel helyettesíthető az a vektorral és a b vektorral történő eltolások egymásutánja. A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív művelet. Középiskolában vektorok összeadására a háromszög szabályt és a paralelogramma szabályt használtuk. Az a és b vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelyre a = b + c teljesül. Ezzel ekvivalens az a definíció, hogy az a-hoz hozzáadjuk a b ellentettjét. Most ismertetem a vektor skalárral való szorzását. Egy nullvektortól különböző a vektor tetszőleges alfa valós számmal, azaz skalárral vett szorzata egy olyan vektor, amelynek abszolút értéke alfa*|a|; Az irána alfa > 0 esetén az a vektorral egyirányú; alfa
Vektorok - vektorműveletek
A vektorok irányított szakaszok. Először azokat a vektorokkal kapcsolatos ismereteket nézzük át, amelyekkel valószínűleg már találkoztál. Vektorműveleteket végzünk, vektorokat adunk össze és vonunk ki egymásból, vektort számmal szorzunk összefűzés, paralelogramma módszerével. Elmondjuk, mikor melyik módszert érdemes vagy kell alkalmazni.
