Vektorok skaláris szorzata

Legyen adott két vektor: a és b . A két vektor skaláris szorzata: 

a · b = | a | · | b | · cos ɑ

vektorok skaláris szorzata

A képletben | a | és | b | az  a illetve b vektorok hosszát jelenti, ɑ pedig a két vektor által közrezárt szög. (Innen meg tudod tanulni a vektor hosszának a kiszámítását.)

Az  a (a1 ; a2) és b (b1 ; b2).skaláris szorzatot a koordinátákból is ki lehet számolni. Bizonyítható, hogy:

a · b = a1 · b1 + a2 · b2

Ha két vektor merőleges egymásra, akkor a skaláris szorzatuk 0 (hiszen cos ɑ = 0).  Ha az a feladat, hogy bizonyítsuk két vektorról, vagy szakaszról, hogy merőlegesek, sokszor a skaláris szorzattal a legkönnyebb a bizonyítás.

Sok matek feladat a skaláris szorzattal kapcsolatban úgy oldható meg, hogy a két különböző módszer segítségével felírjuk az egyenlőséget.

Példák vektorok skaláris szorzására

1. feladat:  Egy rombusz átlóinak hossza 12 és 20. Számítsuk ki az átlóvektorok skaláris szorzatát!

Megoldás: A skaláris szorzat érték 0, mert a rombusz átlói merőleges egymásra.

2. feladat: Számítsuk ki a következő vektorok skaláris szorzatát! Határozzuk meg a két vektor által bezárt szöget!  a (5 ; 8) és b (-40 ; 25)

Megoldás: A két vektor skalári szorzata: a · b = a1 · b1 + a2 · b2 = 5 · (-40) + 8 · 25 = -200 + 200 = 0.

A két vektor skaláris szorzata 0, ezért a két vektor által bezárt szög derékszög (90°).

3. feladat: A PQR háromszög csúcsai: P (−6 ; −1) , Q (6 ; −6 ) és R (2 ; 5). Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő belső szögének nagyságát!

Megoldás: A kérdéses szöget a háromszög oldalvektorai skalárszorzatának segítségével lehet meghatározni.

Az oldalvektorok PQ (12 ; −5) és PR (8 ; 6)

A két vektor skaláris szorzata a koordinátákból: PQ · PR = 12 · 8 + (-5) · 6 = 96 - 30 = 66.

Az oldalvektorok hossza | PQ | = 13 és | PR | = 10

A két vektor skaláris szorzata a definíció szerint:

a1 · b1 + a2 · b2 = | a | · | b | · cos ɑ

66 = 13 · 10 · cos ɑ

0,5077 = cos ɑ

ɑ = 59 5, (mivel ɑ 0° < ɑ < 180°, hiszen egy háromszög belső szöge) 

A következő Matek Oázis videókkal tanulhatsz a skaláris szorzatról

Vektorok
Vektorok
Vektorok, vektorműveletek
Vektorok (ismétlés)
Vektorok a koordinátarendszerben
Vektorok - Vektorműveletek
18. Vektorok, vektorműveletek ...

18. Vektorok, vektorműveletek ...

18. tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbontási tétel. Vektorok koordinátái. Skaláris szorzat. A kidolgozott tételt fogod látni/ hallani a videón úgy, ahogyan azt a vizsgán is egy az egyben elmondhatod. Azokat érdemes felírni a táblára, amit a videón látsz kékkel. A videó 2. felében segítünk megtanulni is a tételt. Mit kell tudni a vektorokról? Az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. A szakasz azért irányított, mert van kezdőpontja és végpontja. Ez egy szemléletes megoldás, a vektor alapfogalom, nem definiáljuk. Egy vektort két mennyiséggel lehet jellemezni, a hosszával és az irányával. A vektor abszolútértéke definíció szerint a vektort meghatározó irányított szakasz hosszát jelenti. A nulla hosszúságú vektort nullvektornak nevezzük. Ennek a vektornak az iránya tetszőleges. A tetszőleges irány annyit tesz, hogy mindig annyi, amennyi szükséges: a nullvektor lehet párhuzamos és merőleges is egy másik vektorhoz viszonyítva. Két nem nullvektor szöge 0°, ha egyirányúak, 180° ha ellentétes irányúak, más esetben a két vektor iránya által meghatározott két szög közül a kisebb. Milyen műveleteket végezhetünk vektorokkal, és hogyan? A vektorok között műveleteket értelmezünk. a és b vektor összege annak az eltolásnak a vektora, amellyel helyettesíthető az a vektorral és a b vektorral történő eltolások egymásutánja. A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív művelet. Középiskolában vektorok összeadására a háromszög szabályt és a paralelogramma szabályt használtuk. Az a és b vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelyre a = b + c teljesül. Ezzel ekvivalens az a definíció, hogy az a-hoz hozzáadjuk a b ellentettjét. Most ismertetem a vektor skalárral való szorzását. Egy nullvektortól különböző a vektor tetszőleges alfa valós számmal, azaz skalárral vett szorzata egy olyan vektor, amelynek abszolút értéke alfa*|a|; Az irána alfa > 0 esetén az a vektorral egyirányú; alfa

Alapok - vektorműveletek
Alapok - pontok, szakaszok
Vektorok - vektorműveletek
Vektorok - helyvektor