Binomiális eloszlás

A valószínűségszámítás sokak számára mumusként jelenik meg az érettségin. Ebben a videóban közösen felvértezzük magunkat, és legyőzzük a mumust. Átnézzük töviről-hegyire a követelményeket, sok apró példát oldunk meg közösen. Találkozunk olyan izgalmas részekkel, mint várható érték, feltételes valószínűség, binomiális eloszlás és hipergeometriai eloszlás.

23. tétel: Kombinációk. Binomiális tétel, a Pascal-háromszög. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. A hipergeometrikus eloszlás. A tételt kifejtve hallani fogod a videón, és közben megmutatjuk, mit érdemes a táblára írnod az emelt szintű szóbeli felelésnél. A tétel a témája a kombinatorika, és a valószínűségszámítás. Ezek véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeivel foglalkoznak. Mik azok a kombinációk, és hogyan lehet kiszámolni őket? n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációi: Legyen n egymástól különböző elemünk. Ha ezekből k darabot kiválasztunk minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációit kapjuk. Azt a tételt bizonyítjuk, hogy az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak a számát az n alatt a k binomiális együttható adja meg. A binomiális együtthatók kiszámításának a módját is megnézzük a videón, és részletezzük a bizonyítást. Az ismétléses kombináció definíciója így szól: Ha n különböző elemből kell k db-ot kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít, és a már kiválasztott elemeket újra kiválaszthatjuk, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Tétel mondja ki ezek számát, ez pedig éppen n+k-1 alatt a k. Miről szól a binomiális tétel? Egy kéttagú összeg hatványozására ad összefüggést a binomiális tétel: egy kéttagú összeget úgy is n-edik hatványra emelhetünk, hogy összeadjuk a két tag összes olyan hatványának szorzatát, melyben a hatványok kitevőinek összege a kéttagú összeg kitevője, azaz n. Ezt megszorozzuk egy binomiális együtthatóval, mégpedig a Pascal-háromszög n-edik sorának annyiadik elemével, ahányadaik hatványon az első tag áll a szorzatokban Fontos megemlíteni, hogy a Pascal-háromszögben a sorok és a sorok elemeinek számozását is a 0-tól kezdjük. Milyen tulajdonságai vannak a binomiális együtthatóknak? A binomiális együttható két tulajdonságát ismertetem most: Mivel 0! definíció szerint 1-el egyenlő, ezért n alatt a 0 és n alatt az n is 1-gyel egy. A második tulajdonság, hogy az n elem közül k darabot és n-k darabot is ugyanannyi-féleképpen lehet kiválasztani. Tehát n alatt a k és n alatt az n-k egyenlők. Az eddig ismertetett definíciók és tételek segítségével megoldhatunk olyan kiválasztási problémákat, mint például hogy hányféleképp lehet kitölteni egy ötöslottó szelvényt. Vagy például ki tudjuk számolni, hogy egy n elemű halmaznak hány darab k elemű részhalmaza van. Mi a Pascal háromszög? Hogyan számíthatjuk ki az elemeit? A Pascal háromszög lényegében a binomiális együtthatók háromszög alakban való elrendezése. Ahogy már említettem a sorok számozása nullával kezdődik. A páros számú és páratlan számú sorokban a számok el vannak csúsztatva egymáshoz képest. A háromszög felírása nem nehéz, az első sorba csupán egy egyest kell írni. A következő sorok felírásánál a szabály a következő: az új számot úgy kapjuk meg, ha összeadjuk a felette balra és felette jobbra található két számot. Az n. sor k. elemének kiszámítására a képletet a háromszög névadója, a francia matematikus Pascal adta meg. A Pascal háromszög n-edik sorában a kéttagú összeg n-edik hatványának együtthatói, azaz a binomiális együtthatók állnak. Mit jelent a valószínűségszámítás kombinatorikai modellje? . A valószínűségszámítás axiómái: 1.) Tetszőleges A esemény valószínűsége nagyobb vagy egyenlő mint 0 és kisebb vagy egyenlő, mint 1. 2.) Biztos esemény valószínűsége 1, lehetetlen esemény valószínűsége 0. 3.) Ha A és B egymást kizáró események, akkor a valószínűség így is számolható: P(A+B) = P(A) + P(B) A esemény valószínűsége és A esemény komplementerének a valószínűsége együtt 1-el egyenlő. Mi a hipergeometrikus eloszlás és hogyan számolhatjuk ki? Most áttérnék a diszkrét eloszlásokon belül a hipergeometrikus eloszláshoz. Ehhez definiáljuk először a valószínűségi változót, majd a hipergeometrikus eloszlást, és elmondjuk annak jellemzőit, és megmutatjuk a kiszámításának módját. A hipergeometrikus eloszlás várható értékét is felírjuk. Matematikatörténeti vonatkozásokra is kitérünk a tétel kifejtése közben.

24. tétel: Permutációk, variációk. A binomiális eloszlás. A valószínűség kiszámításának geometriai modellje. A kidolgozott tételt látod-hallod a videón, pontosabban azt látod, amit a vizsgán érdemes felírnod a táblára. Az előző tételhez hasonlóan itt is kombinatorikai és valószínűségszámítási ismereteket kell bemutatni. Mi az a permutáció, milyen feladatokhoz kapcsolódik, hogyan kell kiszámolni? Mi a különbség az ismétlés nélküli és az ismétléses permutáció között? Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését, azaz sorrendjét értjük. Tétel: Egy n elemű halmaz ismétlés nélküli permutációinak száma n faktoriálissal egyenlő. Bizonyítás: Az n db hely közül az első helyre n féle elem közül választhatok, ezért a lehetőségek száma n. A második helyre már csak (n-1) elem közül tudok választani, hiszen az első helyre már választottam. Ezt a gondolatmenetet folytatva egyértelmű, hogy az utolsó előtti helyre 2, az utolsó helyre pedig 1-féle elem közül tudok választani. A választások egymástól függetlenek, így a lehetőségek számát össze kell szorozni, így kapunk n!-t. Ha az n elem között van n1, n2, …, nk egymással megegyező, akkor az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Ha n elem között n1, n2, … nk db megegyező van, és n1+n2+…+ nk=n, akkor az ismétléses permutációk számához n!-t osztani kell n1! -sal, n2!-sal, stb… nk!-sal. Mi a variáció, mi a különbség az ismétlés nélküli és az ismétléses variáció között? Hogyan kell kiszámolni a lehetséges variációk számát? Vegyünk n db egymástól különböző elemet. Ha ezekből kiválasztunk k db-ot minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít, akkor az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk. Kikötjük, hogy k kisebb vagy egyenlő, mint n. Azt a tételt bizonyítjuk a videón, hogy az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma n!/(n-k)! Definiáljuk az ismétléses variációt: Legyen n db egymástól különböző elemünk. Ha ezekből kiválasztunk k db-ot az összes lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít, és egy elemet többször is választhatunk, akkor az n elem egy k-ad osztályú ismétléses variációját kapjuk. Tétel mondja ki, hogy n elem k-ad osztályú ismétléses variációinak száma nk. Mit jelent a valószínűségi változó? Ehhez először szükséges definiálni a valószínűségi változót. A diszkrét valószínűségi változó az eseménytéren értelmezett valós értékű függvény. Általában kszível, vagy nagy X-szel jelöljük. Ha a valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma véges, vagy megszámlálhatóan végtelen, akkor diszkrét valószínűségi változóról beszélünk. Milyen eloszlás a binomiális-eloszlás? A binomiális-eloszlás olyan kísérletnél fordul elő, amelynek csak két kimenetele lehetséges, azaz A esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Azt is mondhatjuk, hogy A esemény bekövetkezése a kedvező eset, ennek a valószínűsége p. A kedvezőtlen esemény valószínűsége, azaz, hogy A esemény nem következik be 1-p. Tétel: Binomiális eloszlásnál, ha a kísérletet n-szer ismételjük, akkor annak a valószínűsége, hogy az A esemény k-szor következik be, úgy adható meg, hogy n alatt a k-szor pk*(1-p)n-k. Itt is ki kell kötni, hogy k kisebb vagy egyenlő, mint n. Megemlíteném, hogy binomiális eloszlásra vezetnek a visszatevéses mintavétel esetei. A binomiális-eloszlás várható értéke könnyen számolható. Az eloszlás két paraméterét n-t és p-t kell összeszorozni. Matematikatörténeti vonatkozásokat is említünk a valószínűségszámítással és kombinatorikával kapcsolatban. Mi a geometriai valószínűség? Hogyan kell kiszámítani? Ha az eseménytér nem megszámlálható halmaz, de mérhető (például van hossza, területe vagy térfogata), az eseményei mérhetők, és valószínűségük egyenesen arányos a méretükkel, akkor ezt az eseményteret geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük. Ekkor az A esemény valószínűsége számítható úgy, hogy az A eseménynek megfelelő részalakzat mértékét elosztjuk a kísérlettel kapcsolatos teljes alakzat mértékével. Ezt általában úgy jelöljük, hogy m/M. Néhány gyakorlati példát sorolunk fel végül a geometriai valószínűség alkalmazására.

Az új követelményekben a mintavételek valószínűsége külön hangsúlyosan szerepel. Ebben a videóban ezt könnyen megtanulhatod, részletesen kitérünk a visszatevés nélküli mintavételre.

Az új követelményekben a mintavételek valószínűsége külön hangsúlyosan szerepel. Ebben a videóban ezt könnyen megtanulhatod, részletesen kitérünk a visszatevéses mintavételre is, valamint a binomiális eloszlásra. Találsz olyan mintavételtől független feladatokat is, ahol alkalmazhatók ezek az ismeretek.