Matematika 10. osztály

Gondolkozzunk logikusan!

• 01. Matematikai logika: módszerek, műveletek, feladatok

  a) Logika - állítások 1.

  Tananyag   | Kezdés »

  Matematikai logika alapjai. Megmutatjuk, mik a logikában az állítások, és hogyan kell tagadni az állítást. Ez a negáció művelete. Megismerkedünk a művelet igazságtáblájával. Kétváltozós logikai műveletek: "és". Amikor kettő logikai állítást az "és"  kötőszóval kapcsolunk össze, akkor új állítást kapunk. Megvizsgáljuk az új állításoknak az igazságtábláját.

  b) Logika - állítások 2.

  Tananyag   | Kezdés »

  Kétváltozós logikai művelet: "vagy". Ha két logikai állítást a "vagy" kötőszóval kapcsoljuk össze, egy új állítást kapunk. Megnézzük ezeknek az új állításoknak az igazságtábláját.

  c) Logika - állítások gyakorlása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Logikai műveletek - gyakorlás. Gyakoroljuk, amit az előző két tananyagban tanultunk. Állítások "és", illetve "vagy" kötőszóval. Tagadás, komplementer, konjukció, diszjunkció, antivalencia.

  d) Logika - gyakorlás, állítások megfordítása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További matematikai logikai műveletek. Implikáció:. A "ha A, akkor B" típusú állításokat, vagyis ha az A állításból következik a B állítás, ezt implikációnak nevezzük. Ez is egy logikai művelet a két állítással, fel tudjuk írni az igazságtábláját. Ilyenkor az A állítás elégséges feltétele a B-nek, B pedig szükséges feltétele az A-nak. Megfordítható állítások. Az implikációk, tehát a "ha A, akkor B" típusú állítások megfordítása: "ha B, akkor A". Az implikációk megfordítása nem feltétlenül igaz. Azokat az implikációkat, amiknek a megfordítása is igaz, megfordítható állításoknak nevezzük. Ilyenkor A szükséges és elégséges feltétele a B-nek (és fordítva is) Mindez a videón meglátod, nem is olyan bonyolult :)

  e) Logika - ekvivalencia, feltételek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ekvivalencia. Gyakoroljuk tovább a logikai műveleteket. Ismerkedjünk meg az "akkor és csak akkor" állításokkal.

Kombinatorika, gráfok, valószínűség

• 02. Kombinatorika, gráfok

  a) Sorbarendezések - bevezetés

  Tananyag   | Kezdés »

  Átismételjük a kombinatorikáról tanultakat. A kombinatorika témán belül a sorbarendezés lehetőségeivel foglalkozunk. Emlékszel még a faktoriálisra? Tarts velünk, tanuljunk együtt!

  b) Sorbarendezések - gyakorlás

  Tananyag   | Kezdés »

  Gyakoroljuk tovább a sorbarendezéseket. Nehezebb szöveges kombinatorika feladatokat oldunk meg közösen.

  c) Kiválaszátsok - alapok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A kiválasztás (pl.: Hány háromjegyű szám képezhető az 1, 2, ...8, számjegyek felhasználásával?) lehetőségeivel foglalkozunk ebben a tananyagban.

  d) Kiválaszátsok - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk a kiválasztásokat! Szöveges feladat a kombinatorika témakörében.

  e) Kombinatorika

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorlófeladatokat találsz a kombinatorika témaköréből: hányféle sorrend/megoldás lehetséges? Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  f) Gráfok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megismerkedünk a gráfok fogalmával, pontjaival, éleivel, és a köztük lévő összefüggésekkel. Megtanuljuk a gráf készítését. Feladatokat oldunk meg a gráfok témaköréből, gráfok segítségével.

  g) Gráfok - teljes gráf

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megismerkedünk a teljes gráf fogalmával, feladatokat oldunk meg a gráfok témaköréből, gráfok segítségével.

  h) Gráfok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Ellenőrizd a tudásod! Rajzolj gráfokat, állapítsd meg, hogy lehet-e adott fokszámú gráfot rajzolni, számítsd ki a teljes gráf éleinek számát, szemléltesd gráfokkal a szöveges feladatokat.

• 03. Valószínűségi feladatok

  a) Valószínűségszámítás - alapfogalmak

  Tananyag   | Kezdés »

  Ezen a videón a valószínűségszámítás alapjaival ismerkedhetsz meg. A legfontosabb alapfogalmakat tanuljuk meg: elemi esemény, eseménytér, esemény.

  b) Klasszikus valószínűségi modell

  Tananyag   | Kezdés »

  Ismerd meg  a klasszikus valószínűségi modellt, az alkalmazását. Gyakoroljuk a klasszikus valószínűségi modellt.

  c) Műveletek eseményekkel

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ismerkedjünk meg az eseményalgebra rejtelmeivel. Műveleteket fogunk végezni eseményekkel.

  d) Komplementer események

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Komplementer események. Megvizsgáljuk, hogy mi egy esemény komplementere. Komplementer események valószínűségét számoljuk ki.

  e) Valószínűségszámítás

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod a valószínűségszámításból tanultak terén! Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 04. Gyakorlás az előző évek anyagából

  a) Hányféleképpen? - sorbarendezés

  Tananyag   | Kezdés »

  Bevezetünk a kombinatorika alapjaiba. Hogyan lehet meghatározni az összes lehetőséget, amikor valami többféleképpen is bekövetkezhet?

  b) Hányféleképpen? - Körberendezés

  Tananyag   | Kezdés »

  Különféle érdekes szöveges feladatokat oldunk meg, amihez kombinatorikai ismereteinkre lesz szükség.

  c) Hányféleképpen? - Tesztfeladat

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Egy összetett feladatban tesztelheted, hogy sikerült-e mindent megtanulnod a témában.

  d) Relatív gyakoriság és valószínűség

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Mi a valószínűsége egy eseménynek? Mi a relatív gyakoriság?

  e) Valószínűségszámítás - alapfeladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Összehasonlítjuk az összes lehetőséget a kedvező lehetőséggel. Megismerkedünk a kedvező/összes valószínűségi modellel.

  f) Geometriai valószínűség - alapfeladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Mi a geometriai valószínűség? Összehasonlítjuk az összes területet a kedvező területtel.

  g) Valószínűségszámítás - összetett feladatok 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk feladatokban a valószínűségszámítást: Mennyi a valószínűsége, hogy...? Melyiknek nagyobb a valószínűsége? Véletlenszerűen húzunk... ; Kedvező esetek száma, összes eset száma, elemi esemény.

  h) Valószínűségszámítás - összetett feladatok 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Egy urnában 12db piros golyó van, a többi más színű. Összesen hány golyó van az urnában, ha véletlenszerűen húzva közülük, a piros golyó húzásának esélye 3/4? A második urnában 9 db fekete golyó van. Hány piros van mellette, ha azt tudjuk, hogy ha véletlenszerűen húzunk a golyók közül, akkor    valószínűséggel húzunk pirosat? A "Honfoglaló"-játékban a lehetséges 4 válasz közül mindig egy a jó. Ha valaki csak véletlenszerűen tippel, mekkora a valószínűsége, hogy 3 egymás utáni kérdésre is jó választ ad? Az iskola udvarán álló műhely nincs messze a focipályától. Az épület pálya felőli fala 7m hosszú és 3,5m magas, benne három ablak van. Az ablakok 1m szélesek, és 1,5m magasak. Ha eltalálják focizás közben a gyerekek az épület falát, mekkora a valószínűsége, hogy az ablakok épen maradnak? Osztálykiránduláson a gyerekek kipróbálhatják az ősmagyar nyilakat és a célbalövést. Ha (jó közelítéssel) véletlenszerűen találják el a céltábla különböző pontjait, mekkora valószínűséggel találnak a) piros célkeresztebe? ​​​​​​​b) a kék területbe?

Egyenletrendszerek

• 05. Elsőfokú egyenletrendszerek

  a) Egyenletrendszerek megoldása - módszerek

  Tananyag   | Kezdés »

  Elsőfokú egyenletrendszerek megoldási módszereit ismertetjük. Kifejezzük az egyik ismeretlent az egyik egyenletből, majd visszahelyettesítjük a másik egyenletbe. Másik módszer az egyenlő együtthatók módszere. Továbbá lehetséges az új ismeretlen bevezetése is. Tarts velünk, biztos megérted Te is!

  b) Egyenletrendszerek - gyakorlás

  Tananyag   | Kezdés »

  Az előző videóban tanultakat gyakorolhatod most. Egyenletrendszereket kell megoldanunk az egyik ismeretlen kifejezésével, illetve az egyenlő együtthatók módszerével.

  c) Gyakorlás Egyenletrendszerek

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Ezekkel a feladatokkal gyakorolhatod az elsőfokú egyenletrendszerek megoldásának különböző módszereit. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  d) Egyenletrendszerek 2

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Még több egyenletrendszer. Még több gyakorlás, oldd meg önállóan a példákat, szöveges feladatokat hogy még ügyesebben tudd kezelni az egyenletrendszereket!

Hatványozás, négyzetgyök

• 06. Hatványozás, negatív kitevő

  a) Hatványozás azonosságai (ismétlés)

  Tananyag   | Kezdés »

  Átismételjük, mit kell tudnunk a hatványokról. Felelevenítjük a hatványozás definícióját, a hatványozás azonosságait.

  b) Hatványozás azonosságai - gyakorlás

  Tananyag   | Kezdés »

  Műveleteket végzünk hatványokkal és normálalakban megadott számokkal. Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

  c) Hatványozás és normálalak - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Átismételjük, mit kell tudnunk a számok normálalakjáról. Műveleteket végzünk hatványokkal és normálalakban megadott számokkal. Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

  d) Hatványok, negatív kitevő, azonosságok

  Játék   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  JÁTÉK! Noé bárkájára gyülekeznek az állatok. Segíts nekik, hogy időben be tudjanak szállni! El kell döntened a hatványokról, vagy a velük végzett műveletekről, hogy az átalakítás helyes vagy helytelen. Látni fogod utána a magyarázatot is. Így a végére profin tudsz majd bánni a negatív kitevőjű hatványokkal is.

• 07. Négyzetgyök

  a) Négyzetgyök

  Tananyag   | Kezdés »

  A négyzetgyök fogalmával már korábban is találkozhattál. Ismételjük, amit eddig tanultunk a témában, feladatokat is oldunk közösen.

  b) Négyzetgyökvonás azonosságai

  Tananyag   | Kezdés »

  Sorra vesszük a négyzetgyök átalakítás azonosságait. Megvizsgáljuk, mit lehet "kihozni", kiemelni a gyökjel alól, vagy mi lehet bevinni a gyökjel alá. A törtek (nevező) gyöktelenítéséről is tanulunk. Példákat, feladatokat oldunk meg gyökvonással kapcsolatban.

  c) Négyzetgyökvonás - gyakorlás és gyöktelenítés

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megvizsgáljuk, mit lehet "kihozni", kiemelni a gyökjel alól, vagy mi lehet bevinni a gyökjel alá. A törtek (nevező) gyöktelenítéséről is tanulunk. Példákat, feladatokat oldunk meg gyökvonással kapcsolatban.

  d) Négyzetgyökvonás

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! A feladatok megoldásával gyakorolhatod a gyökvonásról tanultakat, és az azonosságok alkalmazását. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  e) Négyzetgyökvonás

  Játék   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  JÁTÉK! Építsd fel a házat és rendezd is be! Alkalmazd a négyzetgyökös kifejezések azonosságait, hogy el tudd dönteni, helyesek-e az átalakítások. A válasz után látni fogod a magyarázatot is. Mire elkészül a ház, egészen ügyesen fogsz bánni a négyzetgyökös kifejezésekkel!

Függvények

• 08. Másodfokú függvények és függvénytranszformációk

  a) Függvény-transzformációk 1. rész

  Tananyag   | Kezdés »

  Ezen a videón nagyon látványosan mutatjuk be a legalapvetőbb függvénytranszformációkat. Azokat a függvénytranszformációkat gyakorolhatod itt be a másodfokú függvények példáján, melyek a függvények x-tengellyel illetve y-tengellyel párhuzamos eltolását eredményezik. Merre toljuk el a függvény grafikonját, ha a függvény értékéhez adunk hozzá (értékéből vonunk ki) egy számot? Merre toljuk el a függvény grafikonját, ha az x értékéhez adunk hozzá (értékéből vonunk ki) egy számot? Ezekre a kérdésekre kaphatsz kimerítő választ.

  b) Függvény-transzformációk 2. rész

  Tananyag   | Kezdés »

  Ez a videó függvénytranszformációk közül a függvények nyújtásával foglalkozik. Ha egy számmal szorzunk egy függvényt, akkor az y tengely irányában vagy nyújtani kell, vagy épp ellenkezőleg, "össze kell nyomni". És az sem mindegy, hogy pozitív, vagy negatív számmal szorzunk. Ezzel a videóval az ilyen típusú transzformációkat alaposan begyakorolhatod.

  c) Függvény-transzformációk 3. rész

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban gyakorolhatod mindazt, amit a függvénytranszformációkról megtanultál. A másodfokú függvényekkel kell különböző transzformációkat végezni, az ellenőrzés pedig nagyon egyszerű: csak ki kell választanod, hogy milyen irányban kell eltolni a függvényt, vagy hogy nyújtani kell-e, és hogy merrefelé nyílik a parabola. Ha ezeket a függvénytranszformációs videókat végignézed, már nem fog gondot okozni, ha ilyen feladatot kapsz.

  d) Másodfokú függvények

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Feladatok: Melyik függvény grafikonját látod? Add meg a hozzárendelési szabályt! Ábrázold a függvényt! Merre kell eltolni a parabolát? Merre fog állni a parabola? Hol metszi a grafikon az x tengelyt? Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Másodfokú egyenletek

• 09. Algebrai átalakítások

  a) Nevezetes azonosságok - emlékeztető

  Tananyag   | Kezdés »

  Összefoglaljuk az egyenletekhez szükséges tudnivalókat. A nevezetes azonosságokkal kezdjük.

  b) Teljes négyzetté alakítás

  Tananyag   | Kezdés »

  A teljes négyzetté alakítás gyakoroljuk feladatokban.

  c) Algebrai törtek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ismételjük, amit az algebrai törtekről tanultunk. Közös nevezőre hozás, azonos átalakítások várnak ebben a tananyagban.

  d) Gyakorlás - Algebrai törtek egyszerűsítése, szorzása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk az algebrai törtek egyszerűsítését, algebrai törtek szorzását. Az algebrai törtek számlálójában és nevezőjében is betűs kifejezések vannak. Feladatokkal gyakoroljuk a műveletvégzést az algebrai törtekkel. Egyszerűsítsd a törtet! Alakítsd szorzattá!

  e) Gyakorlás- Algebrai törtek osztása, összeadása, kivonása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk az algebrai törtek osztását, összeadását, kivonását. Az algebrai törtek számlálójában és nevezőjében is betűs kifejezések vannak. Feladatokkal gyakoroljuk a műveletvégzést az algebrai törtekkel.

  f) Gyakorlás - Algebrai törtek feladatok gyakorláshoz

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az algebrai törtek számlálójában és nevezőjében is betűs kifejezések vannak. Feladatokkal gyakorolhatod a műveletvégzést az algebrai törtekkel. Oldd meg a példákat önállóan.

  g) Gyakorlás - Algebrai törtek feladatok megoldásai

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Itt a találod az algebrai törtekkel kapcsolatos gyakorló feladatok részletes megoldásait.

• 10. Másodfokú egyenletek

  a) Másodfokú egyenletek - megoldóképlet

  Tananyag   | Kezdés »

  A másodfokú egyenletek megoldásánál a legfontosabb, hogy ismerd és alkalmazni tudd a másodfokú egyenlet megoldóképletét.

  b) Másodfokú egyenletek - diszkrimináns

  Tananyag   | Kezdés »

  A diszkrimináns ismerete segíthet a gyökök számának meghatározásában.

  c) Másodfokú egyenletek - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a tananyagban 2 másodfokú egyenletet kell megoldanod. Ki tudod számolni az egyenlet gyökeit?

  d) Másodfokú egyenletek - Viéte-formulák

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Tudni kell a Viete-formulákat is, a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. Mindezeket megtanulhatod, és begyakorolhatod ezzel a videóval. A Viete-formulák 2020-tól emelt szintű tananyag.

  e) Másodfokú egyenletek gyakorlása 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ezen a videón sok szép gyakorló feladatot találsz. Miután a korábbi videón már megmutattuk, hogyan kell alkalmazni a másodfokú egyenlet megoldóképletét, mi az a diszkrimináns, és hogy a Viete-formulák tulajdonképpen a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések, ezek a feladatok már biztos nem fognak gondot okozni.

  f) Másodfokú egyenletek gyakorlása 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ezen a videón további gyakorló feladatokat találsz a másodfokú egyenletek közül. 

  g) Másodfokú egyenletek I.

  Játék   | Kezdés »

  JÁTÉK! Oldd meg a másodfokú egyenleteket, és szerezd meg a tenger összes kincsét (a csillagokat)! Vizsgáld meg minden lépésben, hogy jó-e a levezetés, helyes-e az átalakítás.

  h) Másodfokú egyenletek II.

  Játék   | Kezdés »

  JÁTÉK! Oldd meg a másodfokú egyenleteket, és szerezd meg a Yukon folyó kincseit (a csillagokat)! Vizsgáld meg minden lépésben, hogy jó-e a levezetés, helyes-e az átalakítás.

  i) Másodfokú egyenletek

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod! Hét feladat megoldásával gyakorolhatod a másodfokú egyenletekkel kapcsolatos problémák megoldását. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

További másodfokú feladatok

• 11. Egyenlőtlenségek

  a) Másodfokú egyenlőtlenségek - alapok

  Tananyag   | Kezdés »

  A másodfokú egyenlőtlenségeket nem olyan egyszerű megoldani, mint az elsőfokúakat. Nézzük át ennek lépéseit: az egyenlet megoldása, grafikon vázolás, megoldás leolvasása a grafikonról!

  b) Másodfokú egyenlőtlenségek - gyakorlás

  Tananyag   | Kezdés »

  Gyakoroljuk be alaposan az előző tananyagban tanult lépéseket! Mindegyik másodfokú egyenlőtlenséget meg tudod oldani hibátlanul?

  c) Másodfokú egyenlőtlenségek - gyakorlás 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ellenőrizd mennyire sikerült megtanulnod a másodfokú egyenlőtlenségek megoldását!

• 12. Szövegesek és egyenletrendszerek

  a) Másodfokú szöveges feladat 1.

  Tananyag   | Kezdés »

  Ebben a videóban olyan szöveges feladatokat találsz, amit másodfokú egyenlettel oldunk meg. Ha szépen sorban, mondatonként értelmezed a szöveget, és kihámozod az összefüggéseket, egy másodfokú egyenletet írhatsz fel belőle, amit a megoldóképlettel már könnyen megoldhatsz. Persze figyelni kell arra is, hogy az egyenlet megoldásai a szövegnek is megfelelnek-e.

  b) Másodfokú szöveges feladat 2.

  Tananyag   | Kezdés »

  Folytatjuk tovább a másodfokú szöveges feladatok megoldását.

  c) Másodfokú szöveges feladat 3.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban is egy nehéz, másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatot oldunk meg.

  d) Másodfokú szöveges feladat 4.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Terítéken egy nehéz, másodfokú egyenlettel megoldható szöveges geometria feladat.

  e) Másodfokú szöveges feladat 5.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakorlásként oldunk meg még néhány szöveges feladatot.  

  f) Másodfokú szöveges feladat 6.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakorlásként oldunk meg még egy szöveges feladatot.  

  g) Másodfokú szöveges feladat 7.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Készen állsz a következő másodfokú szöveges feladat megoldására?  

  h) Másodfokú szöveges feladat 8-9.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Két szöveges, másodfokú egyenlettel megoldható feladatot oldunk meg.  

  i) Másodfokú egyenletrendszerek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban a másodfokú egyenletrendszerek megoldásának módszereit nézzük át. Fejezzük ki az egyik egyenletből az egyik ismeretlent, majd helyettesítsük be a másik egyenletbe!

  j) Másodfokú szövegesek megoldása egyenletrendszerrel

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban helyiértékes és geometriai szöveges feladatokat oldunk meg egyenletrendszerrel.

• 13. Gyökös egyenletek

  a) ÚJ! Négyzetgyökös egyenletek 1.

  Tananyag   | Kezdés »

  Végignézzük a négyzetgyökös egyenletek megoldásának lépéseit. Megmutatjuk, mire kell ügyelnünk a gyökös egyenleteknél. Gyök értelmezése, eltüntetése, négyzetre emelés, hamis gyök fogalmait magyarázzuk el részletesen.

  b) ÚJ! Négyzetgyökös egyenletek 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További négyzetgyökös egyenletek megoldásával gyakorlohatsz.

  c) Négyzetgyökös egyenletek 1.

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod a feladatokkal, melyekkel gyakorolhatod a négyzetgyökös egyenletek megoldását. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  d) Négyzetgyökös egyenletek 2.

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Még több négyzetgyökös egyenlet, hogy még ügyesebben tudd megoldani az ilyen feladatokat! Határozd meg az egyenletek gyökeit, vagy éppen a gyökök számát! Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 14. Számtani és mértani közép, szélsőérték feladatok

  a) Számtani és mértani közép - alapok

  Tananyag   | Kezdés »

  A mostani matekvideó a számtani és mértani közép szépségeibe vezet be. Definiáljuk, mi is ez a két középérték két illetve több szám esetén.

  b) Számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség

  Tananyag   | Kezdés »

  A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szépségeit mutatja be. Megnézzük, mi minden következik abból, hogy a számtani közép mindig nagyobb (vagy egyenlő), mint a mértani közép.

  c) Számtani és mértani közép - Szélsőérték feladatok 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További szélsőérték feladatokat oldunk meg, ahol a legkisebb és a legnagyobb értéket kell meghatározni, hogy még jobban begyakorolhasd a számtani és mértani középről szóló tudnivalókat.

  d) Számtani és mértani közép - Szélsőérték feladatok 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Még néhány szélsőérték feladatokat oldunk meg, ahol a legkisebb és a legnagyobb értéket kell meghatározni, hogy még jobban begyakorolhasd a számtani és mértani középről szóló tudnivalókat.

  e) Számtani és mértani közép, szélsőérték

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod a számtani és mértani középről és szélsőértékről tanultak terén! Hét érdekes feladat vár. Oldd meg őket önállóan! Kiértékelés után levezetjük a helyes megoldást lépésről lépésre.

  f) Másodfokú összefoglalás

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Öt feladat megoldásával gyakorolhatod a másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek és négyzetgyökös egyenletek megoldását. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Geometria I.

• 15. Kör

  a) Körrel kapcs. tételek

  Tananyag   | Kezdés »

  Összefoglaljuk a körrel kapcsolatos tudnivalókat: középponti szög, radián, Thalesz-tétel. Majd jöhet az újdonság: kerületi szög, középponti és kerületi szögek tétele, látókörív (látószögkörív), húrnégyszögek és a húrnégyszögek tételét is megtanuljuk.

  b) Körrel kapcs. tételek - feladatok

  Tananyag   | Kezdés »

  Gyakoroljuk, amit az előző tananyagban megtanultunk. Feladatokat oldunk meg, amikben a kerületi szög, középponti és kerületi szögek tétele, látókörív (látószögkörív), húrnégyszögek és a húrnégyszögek tétele is előkerül.

  c) Körrel kapcs. tételek - feladatok 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Folytatjuk a középponti és kerületi szögek tételének alkalmazását. Foglalkozunk a húrnégyszögekkel is.

  d) Gyakorlás Körrel kapcsolatos tételek

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorolhatod a körrel kapcsolatos tételek feladatokban való alkalmazását, megoldását. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Statisztika

• 16. Alapfogalmak, grafikonok értelmezése, készítése

  a) Átlag, medián, módusz, osztályba sorolás - alapfogalmak

  Tananyag   | Kezdés »

  A középszintű statisztikai ismeretek alapfogalmaival ismerkedhetsz meg ezen a videón: hogyan kell meghatározni az átlagot, mediánt, móduszt (a statisztikai középértékeket), és példákon gyakorolhatod is ezeket. Megmutatjuk, mit jelent az osztályba sorolás, és hogyan lehet bánni az osztályba sorolt adatokkal.

  b) Átlag, medián, módusz, osztályba sorolás - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljunk mindent, amit a statisztika alapfogalmairól tanultunk. Sok interaktív példán keresztül válhatsz a téma mesterévé. 

  c) Grafikonok értelmezése

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A statisztikai eredményeket grafikusan is kiértékelhetjük. A különböző grafikonokkal ismerkedünk: kördiagram, hisztogram, sávdiagram, oszlopdiagram. Megtanuljuk értelmezni a grafikonokat, leolvasni az adatokat a grafikonról.

  d) Grafikonok (diagramok) készítése

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Feladatok segítségével megmutatjuk, hogy a rendelkezésünkre álló adatokból hogyan lehet grafikont (oszlop,-sáv és-kördiagramot) készíteni. Táblázatba foglaljuk az adatokat, gyakorisági diagramot készítünk, majd megrajzoljuk a grafikonokat. A kördiagrammal részletesen foglalkozunk.

Geometria II.

• 17. Hasonlóság

  a) Hasonlóság + kapcsolódó tételek

  Tananyag   | Kezdés »

  A párhuzamos szelők tételét és az ehhez kapcsolódó geometriai ismereteket nézzük át ezen a videón, valamint a hasonlósági transzformáció tulajdonságait. Megtudod, mi a különbség a párhuzamos szelők és a párhuzamos szelőszakaszok tétele között. Azt is, mi a szögfelezőtétel, és hogyan kell egy szakasz adott arányú osztópontját megszerkeszteni. Tudtad, hogy a hasonlósági transzformáció tulajdonképpen a nagyítás és a kicsinyítés? Ezen a videón mindezt részletesen átnézzük, példákkal együtt.

  b) Hasonló síkidomok, testek, további tételek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Hasonló síkidomok, hasonló testek tulajdonságait szeretnénk összeszedni. Megvizsgáljuk az oldalak, a felszín és a területek arányát. Háromszögek hasonlóságának alapeseteit tanulmányozzuk. Hasonlósági tételeket állítunk fel a derékszögű háromszögekben: magasságtétel, befogótétel.

  c) Hasonló síkidomok, testek, további tételek 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A háromszög súlypontjainak segítségével is felállíthatunk egy hasonlósági tételt. Végül a körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tételével foglalkozunk.

  d) Gyakorlás Hasonlóság

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod! Gyakorolhatod a hasonlóságról és a hasonlósággal kapcsolatos tételekről tanultak alkalmazását feladatokban. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 18. Gyakorlás az előző évek anyagából

  a) Középpontos hasonlóság 1.

  Tananyag   | Kezdés »

  A középpontos nagyításról és kicsinyítésről, azaz a hasonlóságról tanulunk. A hasonlóság aránya a lambda.

  b) Középpontos hasonlóság 2.

  Tananyag   | Kezdés »

  Hasonlósági képet szerkesztünk. Középpontos hasonlósági transzformációt végzünk. Meg kell tanulnunk a szakasz osztópontjának szerkesztését is.

  c) Középpontos hasonlóság 3.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk tovább a hasonlóságot. Középpontos hasonlóság szerkesztések várnak rád.

  d) Középpontos hasonlóság 4.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Szakasz osztópontjának a szerkesztését tanuljuk meg. Kör kicsinyítése, nagyítása.

  e) Hasonlóság - gyakorló feladatok 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Középpontos hasonlóság, hasonlósági arány gyakorlására találsz itt példákat. Alakzat középpontos hasonlósággal kapott képének szerkesztését gyakoroljuk. Térképen dolgozunk: nagyítás, kicsinyítés, méretarány. A hasonlóságot alkalmazzuk matematika feladatokban.

  f) Hasonlóság - gyakorló feladatok 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Egy háromszög oldalai 18, 13 és 10 cm-esek. Egy hozzá hasonló háromszög legrövidebb oldala 12 cm-es. Mekkora ennek a háromszögnek a leghosszabb oldala? Válaszd ki, hogy a következő háromszögek közül melyik hasonló az ABC háromszöghöz! Egy szélkerék árnyékának a hosszát a földön 65 méternek mérte Ádám és Balázs. Ugyanekkor egy földbe szúrt 1,8 méteres karó árnyéka 1,3 méteres. Milyen magas a szélkerék?

Az aktuális Nemzeti Alaptanterven túlmutató tananyagok

• 19. n-edik gyök

  a) n-edik gyök - alapok

  Tananyag   | Kezdés »

  A gyökvonás nemcsak négyzetgyököt jelenthet. Megvizsgáljuk, mit is jelent a 3., 4., stb. gyök, hogyan lehet számolni vele. Mi történik páros és páratlan n szám esetén, megnézzük, milyen feltételeknek kell megfelelni.

  b) n-edik gyök - feladatok

  Tananyag   | Kezdés »

  Gyakoroljuk a gyökvonást. Sok gyakorlófeladatot oldunk meg.

  c) n-edik gyök - azonosságok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az n-dik gyökvonás azonosságaival is foglalkozunk. Hozzuk közös gyökjel alá! A gyökök kitevőit is össze lehet szorozni, mint a hatványkitevőket.

  d) Ellenőrző feladatsor

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ezzel a feladatsorral ellenőrizheted a gyökvonásról szerzett ismereteidet. Összefoglaljuk a gyökvonásról tanultakat, rögzítjük a tudnivalókat. Néhány tippet is adunk, magabiztossá teszünk a dolgozatíráshoz. A feladatok között van műveletvégzés gyökös kifejezésekkel és tört nevezőjének gyöktelenítése is. Kérdéseket teszünk fel, melyekre Neked kell válaszolnod, de rögtön el is mondjuk a helyes megoldást.

  e) Gyakorlás Gyökvonás

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Ebben a tesztben tovább gyakorolhatod a gyökvonást és a gyökös kifejezésekkel végezhető műveleteket. Önálló munkára hívunk, majd kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

• 20. Másodfokú problémák

  a) Magasabbfokú egyenletek

  Tananyag   | Kezdés »

  Másodfokú egyenletre visszavezethető magasabbfokú egyenletek megoldását keressük. Segítségünkre lesz egy új ismeretlen bevezetése. Figyelj, hogy el ne feledkezz az ellenőrzésről! Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

  b) Magasabbfokú egyenletek 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Másodfokú egyenletre visszavezethető magasabb fokú egyenletek megoldását gyakoroljuk tovább.

• 21. Szögfüggvények alapok

  a) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben

  Tananyag   | Kezdés »

  A szinusz, koszinusz, tangens és kotangens kifejezések rejtelmeibe vezetünk be ebben a videóban. Definiáljuk, mit is jelent ez a derékszögű háromszögben.

  b) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben - feladatok 1.

  Tananyag   | Kezdés »

  Feladatokat oldunk meg, melyekben gyakorolhatod a szögfüggvények használatát.

  c) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben - feladatok 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk tovább a derékszögű háromszögben a szögfüggvényeket.

  d) Hegyesszögek szögfüggvényei

  Játék   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  JÁTÉK! Telepítsd be a tengeri akváriumot! Derékszögű háromszögekben keressük az alfa vagy a béta szög szögfüggvényeit. El kell döntened, hogy a felírt tört a megadott szög szinuszával, koszinuszával, vagy épp tangensével-kotangensével egyezik meg. Látni fogod utána a magyarázatot is, így a végére már magabiztosan fogod tudni használni a szögfüggvényeket.

  e) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Hét feladat megoldásával gyakorolhatod a szögfüggvények használatát derékszögű háromszögekben. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

  f) Szögfüggvények alkalmazása 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik. Sorra vesszük a nevezetes (30, 45, 60 fokos) szögek szögfüggvényeit. Alkalmazzuk a szögfüggvényeket sík-és térgeometriai feladatokban.

  g) Szögfüggvények alkalmazása 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik.  Alkalmazzuk a szögfüggvényeket sík-és térgeometriai feladatokban.

  h) Szögfüggvények és alkalmazásuk

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorold a szögfüggvények alkalmazását! Feladatok, melyek megoldásával letesztelheted mennyire sikerült elsajátítanod a szögfüggvényekről tanultakat. Keresd meg a rajzokon a derékszögű háromszögeket, és írd fel a szögek szögfüggvényeit!

  i) TESZT! Hegyesszögek szögfüggvényei

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Keresd a derékszögű háromszögeket, és a szögfüggvények segítségével határozd meg a hiányzó oldalakat, szögeket! Dolgozz önállóan, majd ellenőrizd a magad! Kiértékelés után láthatod a részletes megoldásokat!

• 22. Szögfüggvények általánosítása:

  a) A sin x általánosítása

  Tananyag   | Kezdés »

  Ebben a matek tananyagban a szinusz szögfüggvény általánosítását vezetjük be, megnézzük a függvény tulajdonságait és a szinuszos alapegyenleteket. Azt is részletesen elmagyarázzuk, mi is az a radián, mert erre is szükség van a trigonometrikus egyenletek megoldásához.

  b) A sin x általánosítása - radián

  Tananyag   | Kezdés »

  Részletesen elmagyarázzuk, mi is az a radián, mert erre is szükség van a trigonometrikus egyenletek megoldásához.

  c) A sin x általánosítása - szinuszfüggvény

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Szinuszfüggvény jellemzését nézzük meg. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, paritás. A szinuszfüggvény periodikus függvény.

  d) A sin x általánosítása - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakoroljuk feladatokban, amit a szinusz x általánosításáról tanultunk.

  e) A cos x általánosítása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban a szinusz-függvény után a koszinusz-függvény általános definícióját nézzük át.

  f) A cos x általánosítása - koszinuszfüggvény

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban a szinusz-függvény után a koszinusz-függvény általános definícióját, a koszinusz-függvény tulajdonságait nézzük át. Feladatokkal gyakorlunk.

  g) A cos x általánosítása - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a matek tananyagban a koszinusz-függvény általános definíciójával kapcsolatos feladatokat oldunk meg.

  h) A tg x és ctg x általánosítása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A tg x és ctg x alkalmazását és függvényeiket vizsgáljuk ebben a videóban. Meghatározzuk a definíciót: tg x = a megoldása; ctg x = a megoldása

  i) A tg x és ctg x általánosítása - tangensfüggvény jellemzése

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megvizsgáljuk a tangensfüggvényt, jellemezzük (értelmezési tartomány, értékkészlet, növedés-csökkenés, stb.) és transzformáljuk.

  j) A tg x és ctg x általánosítása - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A tg x és ctg x általánosításával kapcsolatos feladatokat gyakorolhatsz ebben a videóban.

  k) Gyakorlás - szögfüggvények általánosítása 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban gyakorló feladatokat találsz a szögfüggvények általánosításáról tanultak ellenőrzésére.

  l) Gyakorlás - szögfüggvények általánosítása 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban további gyakorló feladatokat találsz a szögfüggvények általánosításáról tanultak ellenőrzésére. Háromszög területének kiszámítását gyakorolhatod két oldal és az általuk bezárt szög ismeretében.

  m) V. További trigonometrikus egyenletek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban további, az eddigieknél bonyolultabb trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod. Csak akkor állj neki ennek a videónak, ha már végignézted és elsajátítottad a szögfüggvények alkalmazása videókat. Szükséged lesz még papírra, írószerre, számológépre és függvénytáblára is.

• 23. Vektorok

  a) Vektorok - Vektorműveletek

  Tananyag   | Kezdés »

  A vektorok irányított szakaszok. Először azokat a vektorokkal kapcsolatos ismereteket nézzük át, amelyekkel valószínűleg már találkoztál. Vektorműveleteket végzünk, vektorokat adunk össze és vonunk ki egymásból, vektort számmal szorzunk összefűzés, paralelogramma módszerével. Elmondjuk, mikor melyik módszert érdemes vagy kell alkalmazni. Megismerkedünk a helyvektor és a háromszög súlypontjába mutató helyvektor fogalmával. Vektoros feladatokat oldunk meg együtt.

  b) Vektorok a koordinátarendszerben

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Vektorok ábrázolását mutatjuk be koordináta-rendszerben. Vektorműveleteket végzünk koordinátákkal megadott vektorokkal. Meghatározzuk a felezőpontba mutató vektor koordinátáit és a háromszög súlypontjába mutató helyvektor koordinátáit.

  c) Vektorok, vektorműveletek

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Tedd próbára tudásod a vektorok témakörről szerzett tudásod terén! Határozd meg az összegvektorok végpontját! Határozd meg a vektorok koordinátáit! Számold ki a háromszög súlypontjába mutató helyvektor koordinátáit! Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.