Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

A\(B∩C)U(B∩C)\(A∩B∩C)=(A∩B komplementer∩C komplementer)U(B∩C∩A komplementer)
Hogyan kell az ilyen típusú halmazműveletes feladatokat megoldani?

VÁLASZ

Először is a baloldalon hiányzik két zárójel az unió két oldalán, valamint így nem is igaz az egyenlőség, nem unió van az első metszet helyén?
Az ilyen halmazműveletes feladatokhoz célszerű halmazábrát rajzolni. Bár ez nem bizonyítás, de van, ahol elfogadják megoldásként. Halmazábra nélkül a megoldás így néz ki:

A\(BUC) halmazban A-nak olyan elemei vannak, amelyek nem elemei sem B-nek sem C-nek. Ugyanez igaz a jobboldali (A∩B komplementer∩C komplementer) halmaz elemeire. Tehát ez a két halmaz megegyezik.
(B∩C)\(A∩B∩C) halmazba azok az elemek tartoznak, melyek B-nek és C-nek is elemei, de nem elemei A-nak. Ugyanezt mondhatjuk el a jobboldalon a (B∩C∩A komplementer) halmaz elemeiről, tehát ez a két halmaz is megegyezik.
Vagyis a két oldalon két-két olyan halmaz uniója áll, melyek páronként egyenlők, így nyilván az uniójuk is egyenlő.
Bízom benne, hogy ez így emészthető számodra is.