Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

T.MO!
Oszthatóság:
Mutassuk meg, hogy ha 3/2a+7b, akkor 3/18a+60b is teljesül.

Sajnos a 9.-es MO tananyagban nem találtam ilyen feladatokat, igaz a tankönyvben ez az egész anyagrész hiányzik, mi mégis ilyen feladatokból írunk pénteken tz.-t!? :-(
Hálás köszönettel: Bence

VÁLASZ

Kedves Bence!

Ez sem kifejezetten középszintű feladat. Igazából nem nehéz, csak egy apró ötlet kell hozzá:

Tehát tudjuk, hogy 3| 2a + 7b (az osztója szót függőleges vonallal szoktuk jelölni, ami a billentyűzeten a W betű mellett található, Alt gr +w-vel lehet előhívni)

Amire következtetni akarunk: 18a +60b
Ha az első kifejezés osztható 3-mal, akkor valahányszorosa is. Vegyük most a 9-szeresét. (azért a 9-szeresét, mert akkor az elején zárójel felbontás után 18a lesz, az, ami a másik kifejezésben szerepel.)
Ha 3| 2a + 7b, akkor
3|9(2a + 7b), ez is teljesül.
Most bontsuk fel a zárójelet: 18a + 63b
Ez már kezd hasonlítania második kifejezésünkre. Ha elveszünk belőle 3b-t, akkor egyenlő lesz vele:
Tehát:
18a + 60b = 18a + 63b - 3b = (18a + 63b) - 3b (a kifejezés elejét akár zárójelbe is tehetjük)

Ez a felírás azért jó nekünk, mert az előbb beláttuk már, hogy a zárójelben lévő kifejezés osztható 3-mal. A teljes kifejezésben van még egy tag, a -3b, ez egy szorzat, benne van a 3 tényező, emiatt ez is osztható 3-mal. Ha az összeg minden tagja osztható 3-mal, akkor a teljes összeg is.
Remélem, így érthető.