Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

Elnézést! Küldöm ismét, mert lemaradt a "plussz"

Igazold, hogy az n+4 és 3n+13, n eleme N-nek, számok relatív prímek.

Köszönöm szépen!

VÁLASZ

Amit igazolni kell, hogy nincs közös osztójuk 1-en kívül (ezt jelenti az, hogy relatív prímek).

Ha n-nek és n+4-nek van közös osztója, az osztója a különbségüknek is, tehát 4-nek. (mert ha a és b is osztható egy számmal, akkor a-b is osztható azzal a számmal). Azaz a közös osztó csak 1,2 vagy 4 lehet.
n és n+13 közös osztója a különbségüknek, tehát 13-nak is osztója, azaz csak 1 vagy 13 lehet.

Így n, n+4 és n+13 közös osztójára mindkét feltételnek kell teljesülni (1,2,vagy 4) és (1vagy 13) ez pedig csak az 1 lehet. Vagyis a közös osztójuk csak az 1 lehet, tehát relatív prímek.

Bízom benne, hogy ez így világos, ha netán nem, írd le, hol nem tiszta :)