Kérdezz-Felelek Válaszok

Kérdés

Kedves Bea!

Az egyik kérdésem, hogy ha így szól a feladat: Az első 100 pozitív egész szám között hány olyan van, amely nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal?
Erre mi a megfelelő és gyors megoldás? Én végignézve a számokat megkaptam a 33-at eredménynek, de ez elég sok időt vett igénybe. Van-e erre valami gyorsabb és egyszerűbb megoldás?

A másik feladat így szól: Egy egyenlő szárú háromszög területe 100négyzetcentiméter, szárszöge 52'30 fok. Mekkorák a háromszög oldalai? Én két derékszögű háromszögre osztottam, majd megkaptam a derékszögű háromszög szögeit, amik: 90 / 26'15 / 63'85 fokosak. Viszont ezek után teljesen elakadtam.
Miként lehetne ezt a feladatot helyesen megoldani?

A harmadik feladat így szól: Mekkora annak a kúpnak a térfogata, amelynek palástja egy 100 négyzetcentiméter területű negyed körcikk? Ehhez a feladathoz hozzá sem tudtam kezdeni.

Válaszát előre is nagyon szépen köszönöm!

Üdvözlettel:
Jung Zoltán

Válasz

1. az első 100 pozitív egész szám: 1-től 100-ig az egészek. A logikai szita-formulát a leggyorsabb alkalmazni (AUB elemszáma a két halmaz elemszámának összege, minusz a metszet elemszáma) :
2-vel osztható számok 50-en vannak (fele) 3-mal oszthatók: 33-an (3-99-ig, vagyis 1-szer 3-tól 33-szor 3-ig). A metszet ez esetben a 6-tal osztható számok halmaza: ezek 16-an vannak (6-96-ig). Így a 2-vel vagy 3-mal osztható számok 50+33-16-an vannak, vagyis 67-en. A maradék tényleg 33.

2. A derékszögű háromszög nagyon jó! Jelöld (tegeződjünk, jó?) a-val mondjuk a háromszög alapját, akkor a magasság felírható "a" és egy szögfüggvény segítségével (egész pontosan a/2 és egy tangens kell, vagy kotangens, attól függ, melyik szöget nézed) Így a terület is felírható úgy, hogy már csak "a" az ismeretlen, és akkor ebből kiszámítható "a". Utána meg szögfüggvénnyel b is. Így már megy, ugye?

3. Ilyen jellegű feladat van a kúpos videón is, vagyis olyan, amelyben a palástból kell meghatározni a kúp adatait. (Láttad már? ) A negyed körcikknek ki lehet számolni a területéből a sugarát (ugye, ez világos?) , ebből megvan az ívhossza is (a kör kerületének negyede). Az ívhossz megegyezik a kúp alapkörének sugarával - ebből tehát kiszámolható az alapkör sugara. Az alapkör sugara és a negyedkör sugara (ami egyben az alkotó) pedig egy pitagorasz-tétellel megadja a magasságát is a kúpnak.
Menni fog?

Légyszi, legközelebb 3 külön kérdésben tedd fel, ha ilyen van, úgy könnyebben áttekinthető mások számára is. Sok sikert! :)