Derékszögű háromszög átfogója

Egyenlő szárú háromszög | Pitagorasz-tétel | Feladatok derékszögű háromszögekkel | Átfogó számolás szögfüggvényekkel

Kérdés

Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója 5 cm. Mekkora az átfogója?

Válasz (röviden):

Pitagorasz-tétel: a² + b² = c². A c-t (azaz az átfogót) keressük. A háromszög egyenlő szárú, azaz a = b = 5 cm
5² + 5² = 25 + 25 = 50 = c² -> c = √50 = 7,07 cm.

Válasz részletesebben:

Mivel a geometria feladatok sokak számára nehéz, ezért nézzük meg ezt most részletesebben is.

8. osztályban már megtanultad a Pitagorasz-tételt, tanultál az egyenlő szárú háromszögről és derékszögű háromszögről is. Ha ezek közül valamelyikről még nem hallottál, akkor kérlek kezd ezzel, különben nem lesz érthető a magyarázat.

Egyenlő szárú háromszögről röviden

Az egyenlő szárú háromszög egy olyan speciális háromszög, amelynek két oldala egyenlő hosszúságú. Az egyenlő hosszúságú oldalakat száraknak nevezzük, a harmadik oldal neve alap.

Ha szeretnél még többet tudni az egyenlő szárú háromszögről, akkor mindenképp olvasd ezt az írásunkat a témáról: Egyenlő szárú háromszög - minden amit tudnod kell róla!

                  

A baloldali ábrán egy általános egyenlő szárú háromszöget láthatsz. A jobb oldali képen pedig egy derékszögű egyenlő szárú háromszög van. Ha jól megnézed, akkor látod, hogy ez egy négyzet fele.

A négyzet átlója a derékszögű háromszög átfogója.

Pitagorasz-tételről röviden

A Pitagorasz tétel egy nagyon fontos tétel a derékszögű háromszögekről. Már az ókorban is ismerték.

A Pitagorasz-tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű háromszög oldalai között van egy fontos összefüggés: a leghosszabb oldalának (átfogó) a négyzete egyenlő a másik két oldal (befogók) négyzetének összegével.

Azaz a négyzet meg b négyzet egyenlő c négyzettel. (a² + b² = c²)

Ebből az írásból mindent megtudhatsz a Pitagorasz-tételről: A Pitagorasz-tétel egyszerűen

Feladatok derékszögű háromszögekkel

Nézzük az eredeti feladatot részletesen.

1. feladat: Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója 5 cm. Mekkora az átfogója? 

Megoldás: Ha egy egyenlő szárú háromszög derékszögű is, akkor minden esetben a két befogó a két szár. Tehát a két szár 90°-os szöget zár be egymással. Ez azt jelenti, hogy a oldal és b oldal is 5 cm hosszú.

Az átfogó hossza érdekel minket, amit Pitagorasz-tétel segítségével kaphatunk meg, hiszen derékszögű háromszögről van szó. Négyzetre emeljük a befogók hosszát és összeadjuk őket.

a² + b² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50

Pitagorasz-tétel alapján tudjuk, hogy a² + b² = c². Tehát c² = 50. Ahhoz, hogy c-t megkapjuk gyököt kell vonnunk ennek az egyszerű egyenletnek mindkét oldalából. Így kapjuk meg, hogy c = √50 = 7,07 cm.

Kész is a feladat, mert az átfogót jelöltük c-vel. Az volt a példa nehézsége, hogy ismerned kellett az egyenlő szárú derékszögű háromszöget. Aki nem ismeri, annak nem lesz elég adata a feladat megoldásához.

Mutatunk egy másik, gyorsabb megoldást is! Ahogy az egyenlőszárú derékszögű háromszögnél említettük az ilyen háromszögeket ki lehet egészíteni négyzetté, és ekkor a négyzet átlója éppen a derékszögű háromszög átfogója.
A négyzet átlója minden esetben oldal · √2 hosszúságú. Azaz, a mi esetünk a · √2  = 5 · √2  = 7,07 cm.
Jó, ha tudod ezt az összefüggést is, mert időt spórolhatsz vele,

Hogy gyakorolhasd még a deréskszögű háromszög átfogójával kapcsolatos feladatokat, hoztam még két példát. Nézzük ezeket is!

2. feladat: Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm, a másik befogója 9 cm. Mekkora az átfogója? 

Megoldás: Hasonlóan járunk el, mint az előbb. Mivel a háromszög derékszögű, és ismerjük a és b oldal hosszát is, ezért felírjuk a Pitagorasz-tételt. Így egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, ahol csak az átfogó ismeretlen.

c² = a² + b²
c² = 4² + 9²
c² = 16 + 81
c² = 97
c = √97= 9,85

Az egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója 9,85 cm hosszú.

Nézzünk meg most egy olyan példát, ahol nem a befogók hossza van megadva, hanem az átfogó!

3. feladat: Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója 8,49 cm. Milyen hosszúak a befogók? 

Megoldás: Ebben a feladatban c oldal hossza van megadva. Mivel egyenlő szárú háromszögről beszélünk, ezért tudjuk, hogy a = b. Emiatt az egyenlőség miatt jelöljük mindkét befogót a-val. Ez alapján felírjuk a Pitagorasz-tételt:

c² = a² + b²
c² = a² + a²
8,49² = 2 a²
72 = 2 a²
36 = a²
6 = a

Tehát a derékszögű háromszög befogói 6 cm hosszúak.

Átfogó meghatározása szögfüggvények segítségével

Ha tanultál már szögfüggvényeket (szinusz, koszinusz, tangens, kotangens), akkor van még egy eszköz a tarsolyodban, amivel meg tudod határozni egy derékszögű háromszög átfogóját. Ehhez ismerni kell a derékszögű háromszög egyik hegyesszögét (azaz a derékszögön kívül még egy szöget), és az egyik befogó hosszát. Ekkor fel kell használni a számunkra kedvező szögfüggvényt (szinuszt vagy koszinuszt, amikor az átfogót keressük).
Nézzünk meg még két példát!

4. feladat: Egy derékszögű háromszög egyik befogója a = 8 cm, az ezzel szemben lévő α szög 50°-os. Milyen hosszú a derékszögű háromszög átfogója (x)? 

Megoldás: Érdemes ábrakészítéssel kezdeni a megoldást.

Mivel ismerjük a szöget, és a vele szemben lévő oldalt, ezért a szinusz szögfüggény definíciójának a segítségével fel tudjuk írni a következő egyenletet:

sin α = a / x
sin 50° = 8 / x
0,77 = 8 / x
0,77 · x = 8
x = 10,44 

Az átfogó hossza tehát 10,44 cm.

5. feladat: Egy derékszögű háromszög egyik befogója b = 10 cm, a mellete levő α szög 22°-os. Milyen hosszú a derékszögű háromszög átfogója (y)? 

Megoldás: Érdemes most is ábrakészítéssel kezdeni a megoldást.

Most a szöget és a mellette levő befogó hosszát ismerjük. Ha ez a két adat van megadva, akkor a koszinusz szögfüggvényt kell használni. A definíciót felhasználva felírhatjuk az alábbi egyenletet: 

cos α = b / y
cos 22° = 10 / y
0,93 = 10 / y
0,93 · y = 10
y = 10,79

Az átfogó hossza tehát 10,79 cm.

Elolvasom

Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása

2024. február 23.

Mi a szögfelező egyenes definíciója? Milyen tulajdonságai vannak a szögfelező egyenesnek? Mit mond ki a szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel? Hogy kell bizonyítani a szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tételt?