Egyenlő szárú háromszög - minden amit tudnod kell róla!

Milyen háromszögek vannak? | Mi az egyenlő szárú háromszög? | Egyenlő szárú háromszög kerülete | Egyenlő szárú háromszög területe | Egyenlő szárú háromszög szögei

Kérdés:

Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei, ha
a) egyik alapon fekvő szöge: 30 fok; 45 fok; 75 fok; 90 fok;
b) szárszöge: 180 fok; 160 fok; 90 fok; 40 fok ?

Válasz (röviden):

Az egyenlő szárú háromszögben az a jó, hogy 2 egyenlő alapon fekvő szöge van. Ebből, és hogy a szögek összege 180°, mindent ki lehet számolni:

a) ha egyik alapon fekvő szöge 30°, akkor a másik is, így a szárszög: 180°-60°= 120°;
ugyanígy ki tudod számolni 45°, 75°esetén is;
90° az alapon fekvő szög nem lehet, mert akkor a két szára párhuzamos lenne, tehát nem metszené egymást.

b) ha szárszöge 180°, akkor az nem alkot háromszöget
ha a szárszög 160°, akkor a maradék két szög összege 20°, ez oszlik meg egyenlően a két alapon fekvő szög között, tehát ezek 10°-osak.
ugyanígy ki tudod számítani 90° és 45° esetén is.

Ha többet szeretnél tudni az egyenlő szárú háromszögekről, olvass tovább!

A továbbiakban először megnézzük, hogy hogyan lehet csoportosítani a háromszögeket. Majd megnézzük az egyenlő szárú háromszög tulajdonságait, és azt, hogy hogyan kell kiszámítani a szögeit, kerületét, területét.

Milyen háromszögek vannak?

A háromszögeket lehet szögek és oldalak szerint csoportosítani. Nézzük először a szögek szerinti csoportosítást! Biztos Te is tudod, hogy a háromszögek belső szögeinek az összege 180°.

Ezt figyelembe véve elmondhatjuk, hogy szögei szerint 3 fajta háromszög van:
Hegyesszögű háromszög, derékszögű háromszög, és tompaszögű háromszög:

Hegyesszögű háromszögnek nevezzük az olyan háromszögeket, amelyeknek minden szöge kisebb, mint 90°. A derékszögű háromszögnek van egy darab 90°-os szöge. Ha belegondolsz, kettő 90°-os szöge nem lehet semmilyen háromszögnek, mert akkor nem teljesülne a belső szögösszegre vonatkozó szabályunk! Már csak a tompaszögű háromszög van hátra, ennek van egy 90°-nál nagyobb szöge.

Oldalak szerint is három fajta háromszög típust különböztetünk meg. Van az általános háromszög, melynek minden oldala különböző hosszúságú, ennél egyel speciálisabb az egyenlő szárú háromszög, melynek két oldala egyenlő hosszúságú. Legspeciálisabb eset, amikor minden oldal ugyanolyan hosszúságú, ez a síkidom a szabályos háromszög:

A háromszögről, ennek a szögeiről itt találsz interaktív tananyagot »​​​​​​​

Mi az egyenlő szárú háromszög?

Ezek olyan háromszögek tehát, melyeknek van két egyenlő hosszúságú oldala. Az egyenlő oldalakat szárnak nevezzük, innen kapta a nevét az egyenlő szárú háromszög. A harmadik oldalt, aminek a hossza nem egyezik meg a szárakkal, alapnak nevezzük. (Ha megegyezik, akkor az egy szabályos háromszög, ami az egyenlőszárúak között egy speciális háromszögfajta).

Az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus. Szimmetriatengelye az alap felezőmerőlegese

A szimmetria miatt az ilyen háromszögek két alaponfekvő szöge is egyenlő.

Fordítva is igaz: ha egy háromszögben két szög nagysága megegyezik, akkor az egy egyenlőszárú háromszög. Vagyis ekkor biztosan van a háromszögnek két egyenlő hosszúságú oldala is. Ha két szög 60°-os, akkor a harmadik is éppen 60°-os lesz, ekkor viszont már szabályos háromszögről beszélünk.

Hogyan kell kiszámítani az egyenlő szárú háromszög kerületét?

A háromszögek kerületét minden esetben ugyanúgy számoljuk: összeadjuk a három oldal hosszát. Az egyenlő szárú háromszög kerületéhez csak 2 adatra van szükségünk, hiszen két oldal ugyanolyan hosszúságú. Ha az egyenlő szárú három szög alapja a hosszúságú, az egyenlő szárak hossza pedig b, akkor a háromszög kerülete: K=a+2b.

Hogyan számítsuk ki az egyenlő szárú háromszög területét?

Mint bármelyik háromszögnek a területét, ezt is úgy számolhatjuk, hogy az egyik oldal, és a hozzátartozó magasság szorzatát osztjuk 2-vel. Általában az alappal, és a hozzá tartozó magassággal számolunk, de természetesen van szárhoz tartozó magasság is, azzal is kiszámolhatjuk a területet (a szár ismeretében).

Ha már tanultál Pitagorasz-tételt, akkor a területet az alapból és a szárból is ki tudod számolni : ha behúzzuk az alaphoz tartozó magasságot, akkor kapunk két derékszögű háromszöget. Az alaphoz tartozó magasság éppen a felénél metszi az alapot, ezért Pitagorasz-tétellel nagyon könnyen meghatározhatjuk a magasságot. Utána pedig már csak az ismert képletbe kell behelyettesíteni.

Hogyan számoljuk ki az egyenlő szárú háromszög szögeit?

Láttuk, hogy az egyenlő szárú háromszögben két szög nagysága megegyezik, ezek lesznek az alapon fekvő szögek. A harmadik szöget szárszögnek nevezzük. Egyenlőszárú háromszögben elég egyetlen szöget ismernünk, a többit ebből kiszámíthatjuk, hisz tudjuk, hogy a háromszögekben a szögek összege 180°:

a) Ha a szárszöget adták meg nekünk, akkor a 180°-ból fennmaradó szög a két alapon fekvő szög összege lesz. Tehát 180°-ból el kell vennünk ezt a szárszöget, majd feleznünk kell, és megkapjuk az alapon fekvő szög nagyságát. Az alapon fekvő két szög pedig egyenlő.

b) Ha az egyik alapon fekvő szöget adták meg a feladat készítői, akkor sincs sokkal nehezebb dolgunk. Tudjuk, hogy a másik alapon fekvő szög is épp akkora lesz (mivel egyenlő szárú a háromszög). Ezután ezt a két szöget összeadjuk, kivonjuk 180°-ból, és így megkapjuk a harmadik szög, azaz a szárszög nagyságát.

Érdemes a feladatmegoldás után ellenőrizni, hogy a három szög összege valóban 180°-e.

Az összetettebb, nagyobbaknak szóló feladatokat itt találod:

7. osztályos feladatok »

8. osztályos feladatok »

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár