A Pitagorasz-tétel egyszerűen

Mi a Pitagorasz-tétel? | Bizonyítás | A tétel megfordítása | Alkalmazás | Pitagoraszi számhármasok

A Pitagorasz tétel egy nagyon fontos tétel a derékszögű háromszögekről. Már az ókorban is ismerték, Pitagorasz előtt is. Földterületek kijelölésére használták, a derékszögeket tudták így nagyon pontosan kijelölni.

Mi az a Pitagorasz-tétel?

A Pitagorasz-tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű háromszög oldalai között van egy fontos összefüggés: a leghosszabb oldalának a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével.

Azaz a négyzet meg b négyzet egyenlő c négyzettel. (a2 +b2 = c2)

Pitagorasz-tétel

S.O.S. SEGÍTSÉG MATEKBÓL!

Dolgozatra készülsz? Elakadtál?

PRÉMIUM matek holnap estig INGYEN!

Hogyan bizonyítjuk a Pitagorasz-tételt?

A bizonyítására többféle módszer is van. A legszemléletesebb talán az, ahol egy a + b oldalú négyzetet fölosztunk kétféleképpen: az egyik esetben a, b befogójú kis háromszögeket rakunk a négyzetnek az oldalaira így középen marad egy négyszög. Erről a négyszögről bebizonyítható, hogy az egy négyzet Azt mindenki látja, hogy az oldala c hosszúságú, a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. Azt, hogy a négyszögnek minden szöge derékszög, úgy láthatjuk be, hogy a derékszögű háromszög szögeinek összegéről tudjuk hogy 180 °, és mivel a 90 °-os szögön kívüli két szög ott látszik a négyszög mellett, ezért a négyszög szöge csak derékszög lehet.

A Pitagorasz-tétel bizonyítása

Az első nagy négyzetben tehát egy c négyzet oldalú négyzet helyezkedik el, belül mellette 4 db a, b befogójú derékszögű háromszög. Nézzük most a másik nagy négyzetet. Ott úgy helyeztük el a kis derékszögű háromszögeket, hogy mellette két kisebb négyszög maradt. Erről a két kisebb négyszögről ránézve is látható, hogy az egyik a oldalú négyzet, a másik pedig egy b oldalú négyzet. Ha most a két nagy négyszöget összehasonlítjuk akkor azt látjuk, hogy ugyanakkora területen az egyikben a négy kis háromszög mellett egy c2 nagyságú terület van, a másikban pedig egy a2  és egy b2 nagyságú terület. Tehát a c2 -nek egyenlőnek kell lenni a2 + b2 -tel.

Pitagorasz-tétel - tanuld így!

Ha nem csak gyakorolni szeretnél, hanem végre tudni is a matekot, segítünk.
Egyedülállóan interaktív videók a biztos tudásért.
A Matek Oázisban gyorsan tudsz fejlődni

8. osztály:

Háromszögek (+ Pitagorasz-tétel)

Játék

Teszt: Pitagorasz-tétel

Teszt: Pitagorasz-tétel alapjai

9. osztály:
Háromszögek

Teszt: gyakorlás Pitagorasz-tétel

Mi a Pitagorasz-tétel megfordítása?

Megfordítva az előző tételt, így hangzik: Ha egy háromszög oldalaira igaz az, hogy a2 +b2 = c2, akkor az a háromszög derékszögű. A Pitagorasz-tétel megfordítását felhasználhatjuk arra, hogy bebizonyítsuk egy háromszögről, hogy derékszögű-e vagy sem. Ha leghosszabb oldalára teljesül, hogy az oldal négyzete a másik két oldal négyzetével egyenlő, akkor a háromszög derékszögű. Ám ha ez nem teljesül rá, akkor a háromszög nem derékszögű. Sőt ennél többet is lehet állítani. Ha a leghosszabb oldal négyzete nagyobb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor a háromszög tompaszögű, ha a leghosszabb oldal négyzete kisebb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor a háromszög hegyesszögű.

Hogyan alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt?

A tételt leginkább derékszögű háromszögek hiányzó oldalának a kiszámítására alkalmazzuk. Célszerű mindig megkeresni a háromszög leghosszabb oldalát (ha van ilyen). Ha arra írjuk fel a Pitagorasz-tételt, tehát hogy a leghosszabb oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével, akkor nem téveszthetjük el az összefüggést. Ebben az esetben bármelyik oldal hiányzik, azt egyenletrendezéssel kiszámolhatjuk. Nézzünk néhány példát.

Derékszögű háromszög átfogójának kiszámítása

Az első esetben a két befogót ismerjük. Az átfogó ezekből könnyen kiszámolható. A két ismert befogót négyzetre kell emelni, ezeket össze kell adni és az eredményből gyököt vonni.

 Derékszögű háromszög befogójának kiszámítása

A második esetben az átfogót és az egyik befogót ismerjük. Most is érdemes az átfogóval kezdeni. Az egyenlőség másik oldalán az ismeretlen oldal négyzete áll + az ismert befogó négyzete. Ebből az ismeretlen befogót úgy kaphatjuk meg, ha az átfogó négyzetéből kivonjuk az ismert befogó négyzetét, majd a különbségből gyököt vonunk.

S.O.S. SEGÍTSÉG MATEKBÓL!

Dolgozatra készülsz? Elakadtál?

PRÉMIUM matek holnap estig INGYEN!

Pitagorasz tétel a gyakorlatban, pitagoraszi számhármasok

Az ókori indiai, kínai, babilóniai matematikusok is ismerték már évszázadokkal Püthagorasz előtt ezt az összefüggést, és a kínaiak kidolgoztak rá bizonyítást is.

Az egyiptomiak csomókkal 3, 4 és 5 részre osztott kötelet használták a derékszög előállítására. Ehhez összesen 13 darab egyforma távolságban kötött csomóra volt szükségük. Így egy olyan derékszögű háromszög jött létre, amelynek oldalai megfelelnek a Pitagorasz-tételnek, hiszen ​32+42=52. Ez a 3; 4; 5 számhármas egy un. Pitagoraszi számhármas.

A pitagoraszi számhármasok

A pitagoraszi számhármasok három olyan pozitív egész számból állnak, amikre teljesül a Pitagorasz-tétel, vagyis a két kisebb szám négyzetének összege egyenlő a legnagyobb szám négyzetével.

Ilyen például a 3, 4, 5, vagy az 5, 12, 13. Természetesen egy ilyen számhármas pozitív egész számú többszöröse is pitagoraszi számhármas, tehát a 6, 8, 10 is ilyen.

Végtelen sok pitagoraszi számhármas van, ezt Euklidesz bizonyította be először.

Ma is remekül lehet használni:

  • pl. minőségi asztalos munkánál, ha tudni akarjuk, hogy valóban derékszögű-e, illetve merre hajlik a fal, hogy a bútorokat megfelelően oda tudjuk illeszteni,
  • ha szeretnénk kiszámítani az átlós elemek hosszát (pl. falikar, tetőgerendák, stb.),
  • lejtők, emelkedők hosszúságának, magasságának kiszámítására,
  • ha egy függőleges rudat, tornyot kábelekkel rögzítünk, a kábelek hosszának, ill. távolságának kiszámítására

Tovább a Matek Oázis tananyagokhoz

B. Békési Bea
A szerethető matektanulás szakértője, matektanár

S.O.S. SEGÍTSÉG MATEKBÓL!

Dolgozatra készülsz? Elakadtál?

PRÉMIUM matek holnap estig INGYEN!